Auf partielle Differenzierbarkeit prüfen

Question

Ich möchte gerne herausfinden, ob eine (von mir ausgedachte) Funktion partiell differenzierbar ist, im Punkt (0,0) .

Meine Funktion:

$$ f(x,y) = x^2+4y+2 $$

Die Definition auf die ich mich beziehe:
$$ \text {f ist partiell differenzierbar in der i-ten Koordinate, wenn} \\ D_if(x) = \lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+he_i) - f(x)}{h} \text { existiert} \\ e_i \text{ ist der i-te Einheitsvektor im } \mathbb{R^n} $$

Mein Ansatz:

$$ D_1f((0,0)) = \lim\limits_{h\to0} \frac{f((0,0)+he_i) - f((0,0))}{h} = \lim\limits_{h\to0} \frac{(h^2+4*0+2) - (0^2+4*0+2)}{h} = \frac{h^2}{h} = h \\ D_2f((0,0)) = \lim\limits_{h\to0} \frac{f((0,0)+he_i) - f((0,0))}{h} = \lim\limits_{h\to0} \frac{(0^2+4*h+2) - (0^2+4*0+2)}{h} = \frac{4h}{h} = 4 $$

So wie ich es nun verstehe, geht D₁f(x) gegen 0, da h gegen 0 geht, hat also den Grenzwert 0.

D₂f(x) hat den Grenzwert 4.

Somit gibt es beide Grenzwerte und die Funktion ist partiell differenzierbar in (0,0).

Ist dies richtig, wenn nein wo liegt der Fehler? Außerdem wie würde das ganze aussehen, wenn eine Funktion nicht differenzierbar, bzw. differenzierbar ist in einem Punkt?

Wie sieht es aus, wenn ich prüfen möchte, ob die partiellen Ableitungen einer Funktion existieren?

Comments

Wenn du D1 bzw. D2 berechnest, dann musst du anstelle von e_i e_1 bzw. e_2 hinschreiben. Die anschließende Rechnung ist richtig.

(Die partielle Ableitung kannst du aber einfacher mithilfe der üblichen Ableitungsregeln berechnen)

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das mit e_i hatte ich gestern wohl einfach vergessen sauber aufzuschreiben.

Beim berechnen von partiellen Ableitungen bin ich mir sehr sicher, aber eben leider nicht dabei zu zeigen, dass eine Funktion partiell differenzierbar (in diesem Fall in einem Punkt) ist.

Hast du evt. ein einfaches Beispiel für mich, wie die Berechnung aussehen müsste, wenn ich eine nicht in einem Punkt x differenzierbare mehrstellige Funktion hätte?

Answer 1

Hallo

 da hier f(x)=g(x)+h(y) musst du nur die Differenzierbarkeit von g(x) und h(y) zeigen, die hast du  aber mit deiner Schreibweise falsch es ist f(0+h,0)-f(0,0) nicht f((0,0)-hei )-f(0,0) anscheinend denkst du an Funktionen R^2 -> R^2 du hast aber R^2->R.

wenn es nicht diffbar wäre wäre z.B der GW +h->0 und -h->0 verschieden, etwa, wenn du x^2 durch |x| ersetzt,

Gruß lul

Comments

f(0+h,0)-f(0,0) nicht f((0,0)-hei )-f(0,0)

Ist das hier ein Schreibfehler und f((0,0)+he_i )-f(0,0) gemeint?
Denn wenn ich nichts falsch verstehe wäre doch für i = 1:
h * ei = h * (1,0) = (h,0), also hätte man
f((0,0) + (h,0)) = f((h,0))
Eigentlich sollte es die Definition für partielle differenzierbarkeit in einem Punkt x in der i-ten Koordinate sein und das für Rⁿ nach R.

wenn es nicht diffbar wäre wäre z.B der GW +h->0 und -h->0 verschieden, etwa, wenn du x2 durch |x| ersetzt,

Also muss ich immer +h und -h überprüfen um festzustellen ob etwas partiell  differenzierbar ist?

da hier f(x)=g(x)+h(y) musst du nur die Differenzierbarkeit von g(x) und h(y) zeigen

Hier bin ich mir gerade nicht sicher ob ich das verwenden darf, da (wenn ich nichts übersehen habe) ich nur die Regel habem wenn g und h selbst partiell differenzierbar sind, was ja nicht gegeben sein sollte, wenn ich jeweils "normale" differenzierbarkeit zeigen würde.

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Hallo

1.das mit dem ei ist wirklich für Vektorwertige Funktionen, die haben mehrere Komponenten, dein f geht Abe in die reellen Zahlen.

2. wenn f nur von x abhängt ist die Ableitung nach x auch die partielle Ableitung.

Gruß lul

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Das mit den e_i stimmt schon, siehe die partielle Ableitung als Spezialfall der Richtungsableitung:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung