partielle Differenzierbarkeit auf ganz R^2 zeigen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Funktion F auf ganz ℝ² partiell differenzierbar ist.

f: ℝ²  → ℝ, f(x,y) := { y⁵ / (x⁴ + y⁴) für (x,y) != (0,0), 0 für (x,y) = (0,0).

Problem/Ansatz:

Wenn man die partielle Differenzierbarkeit im Punkt (0,0) prüfen sollte, hätte ich es mit f_x (0,0) = lim_h->0 (f(0+h,0) - f(0,0) )/ h

gezeigt, und für f_y(0,0) analog, aber wie zeige ich es "auf ganz ℝ²" ?

Answer 1

Da die Funktion auf ganz R^2  ausser (0,0) aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist muss man nor (0,0) betrachten, wie du vorschlugst und das andere dazu schreiben.

Gruß  lul

Comments

Hi,

ist diese Rechnung richtig?

f_x (0,0) = lim_h->0  \( \frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} \) = lim_h->0 \( \frac{((0^5-0)/(0^4+h+0^4)}{h} \) = 0

f_y (0,0) = lim_h->0  \( \frac{f(0,0+h) - f(0,0)}{h} \) = lim_h->0 \( \frac{((0+h)^5-0)/(0+0+h^4}{h} \) = \( \frac{h^5/h^4}{h} \) = \( \frac{h^5}{h^5} \) = 1

Folgerung: f nicht auf ganz ℝ² partiell differenzierbar, da die Ableitung nach y im Nullpunkt ungleich 0 ist. Somit bräuchte ich auch nicht mehr die totale Differenzierbarkeit prüfen, f wäre nicht total differenzierbar.