In einer Urne befinden sich 3 Weiße und 5 schwarze Kugelen. Wir ziehen mehrfach, die gezogenen Kugeln legen wir nicht zurück.
1. Man zieht so lange, bis man eine schwarze Kugel gezogen hat. Es sei X die Anzahl der nötigen Ziehungen. Berechne P(X=k) für die Werte, die X annehmen kann.
Meine Überlegung: Sind die Anzahl der ZIEHUNGEN 5? Da es ja 5 schwarze gibt, oder 8, also alle insgesamt?
Nein.
X kann die Werte 1,2,3,4 annehmen. Jetzt musst du aber zu jedem von diesen Werten noch die Wahrscheinlichkeit angeben. Mach dir dazu am besten einen Wahrscheinlichkeitsbaum.
P(X=1) = 5/8
Beim ersten Zug eine schwarze Kugel
P(X=2) = 3/8* 5/7
1 weisse vor der ersten schwarzen Kugel
P(X=3) = 3/8*2/7*5/6
2 weisse vor der ersten schwarzen Kugel
P(X=4) = 3/8*2/7*1/6 *5/5 = 3/8*2/7*1/6
Zuerst 3 weisse und dann automatisch eine schwarze Kugel.
Nun noch alles in den Taschenrechner eingeben und kontrollieren, ob die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1 ist.
2. Es sei zweimal gezogen worden und dabei sei genau eine schwarze Kugel gezogen worden. mit welcher wahrscheinlichkeit war die zweite gezogene Kugel schwarz?
= 3/8*2/7+5/8
Nein. Hier handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeit P(sw | ws oder sw).
Es sei zweimal gezogen worden und dabei sei genau eine schwarze Kugel gezogen worden. Heisst: es sind nur noch 4 schwarze und 2 weisse Kugeln in der Urne. Es wurde erst eine schwarze und dann eine weisse gezogen oder umgekehrt. Beide Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Nämlich
P(ws, also zuerst weiss und dann schwarz) = 3/8*5/7 = 15/56
P(sw, zuerst schwarz und dann weiss) = 5/8*3/7 = 15/56
Daher ist die gesuchte Wahrscheinlich
P(sw | ws oder sw) = 15/56 / (15/56 + 15/56) = 15/30 = 1/2
Begründung: Beide Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Also haben beide die Wahrscheinlichkeit 50%.
3. Wir ziehen viermal. Klaus behauptet, der Erwartungswert der Anzahl der Anzahl der bei k-ten Ziehung gezogenen schwarzen Kugeln sei 5/8 für jedes k k=1,2,3,4.
a)Stimmst du ihm zu?
Nein, denn ich habe 5/2 raus. K=1,...,4) p=1/5
Achtung: Du hast da was falsch gelesen. Es muss da z.B. stehen: Erwartungswert der Anzahl der Anzahl der bei der k-ten Ziehung gezogenen schwarzen Kugeln sei 5/8.
Bei der k-ten Ziehung kann maximal eine schwarze Kugel gezogen werden. Du kannst da nicht auf einen Erwartungswert über 1 kommen.
b)Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der insgesamt gezogenen schwarzen Kugeln, wenn Klaus Recht hat?
Hier habe ich: E(X)=3 (K=1,....5) p=1/5
Hier müsste man dann 4*5/8 = 5/2 = 2.5 rausbekommen, wenn Klaus Recht hat.
