Das Tschebyscheff-Risiko: X Zahl der Teilchen zu einem zufälligen Zeitpunkt in der linken Hälfte des Hörsaals.

Question

mir wurde empfohlen, die Frage separat zu stellen.

4. "Die Anzahl der Gasteilchen in unserem Hörsaal liegt so in der Größenordnung von 10^28", doziert der Physikprofessor. "In jeder Hälfte des Hörsaals sollten sich also 1/2*10^28 Teilchen aufhalten."

Es sei X die Anzahl der Teilchen, die sich zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt in der linken Hälfte des Hörsaals aufhalten. Sage was die Wahrscheinlichkeit
P(|X-1/2*10^28|=>10^20) bedeutet, und gib eine oberere Schranke für diese Wahrscheinlichkeit an. Berechne, wieviel Prozent 10^20 von 1/2*10^28 ist, und gib Auskunft, was das alles für die Studenten im Hörsaal bedeutet.

= Hier bin ich mir etwas unsicher. Also ich habe zur W, den Tschebyschow Satz angewendet, Also  P(|X-1/2............) ist die W. dafür, dass das Ergebnis um mindestens 1020 vom Erwartungswert abweicht ist höchtens so groß wie das Tschebyscheff-Risiko V(X)/a2  , also wäre das -5*10^55/(10^20)^2
Stimmt die Varianz??

so und die Prozentaufgabe: 5*10^45 %

Bei zwei sachen bin ich nicht weitergkommen, was ist mit obere Schranke gemeint? Einfach nur das ausrechnen?

Und was bedeutet es für die Studenten?

Comments

P(|X-1/2*10²⁸|=>10²⁰)

Meinst du

P(|X-1/2*10²⁸| ≥ 10²⁰)?

gib eine oberere Schranke an: Die einfachste obere Schranke ist 1, da keine Wahrscheinlichkeit grösser als 1 sein darf. 

Vielleicht hat jemand anders eine bessere Idee. Daher erst mal nur ein Kommentar.

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Deine Varianz kann nicht stimmen, eine Varianz ist immer positiv. Und die Prozente bezeichnen einen Anteil von etwas. Was auch immer du da gerechnet hast, die Zahl ist viel, viel zu groß @Lu: Eine obere Schranke dieser W-keit erhält man ja gerade durch die Tschebyscheff ungleichung.

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@ Lu : ja das meine ich.

@tatmas: wie soll ich das denn dann machen? İch habe es mit V(x) = np(1-p) gerechnet. Kriege immet was nehatives raus

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Die Formel ist richtig. Dabei kann aber niemals etwas negatives rauskommen (und darf auch nicht) da n postiv ist und $$0\leq p \leq 1$$ gilt, da p eine Wahrscheinlichkeit ist.

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Also ich gebe ein: 1/2*10^28(1-10^28) und es kommt was negatives raus. :(

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10^28 ist ja auch keine Wahrscheinlichkeit, da größer als 1. p=1/2, n=10^28

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Achso also steht es dort quasi andersherum pn oder? Ich habe nämlich die ganze zeit np gedacht. Also gilt das immer mit der wahrscheinlichkeit 1?

Answer 1

Für ein teilchen ist die Aufenthaltwahrscheinlichkeit in einer Hälfte 1/2. Hier liegt eine Binomialverteilung mit n=10^28 vor. Damit ist die Varaianz np(1-p)=0.25*10^28. Das ergibt eine Tschebbyscheff Schranke von 0.25*10^28/(10^20)²=0.25*10^-12. Damit ist die W-keit dafür, dass sich 10^20 Teilchen "zu viel" aufhalten kleiner als 1:4 Billionen. Für die Studenten bedeutet dass, das keiner erstickt und das es keinen Wind von einer Hörsaalhälfte in die andere gibt.

Comments

!! Das ist wirklich super nett!!!!
Ich habe eine weitere Frage: Denn in der Aufgabe steht ja auch was die Wahrscheinlichkeit bedeutet.

Kann ich dann schreiben: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis um mindestens 10^20 vom Erwartungswert abweicht ist so groß wie das Tschebyscheff Risiko: V(X)/a^2 ( Dann natürlich auch mit den zahlen von der Aufgabe)

Und wie viel Prozent es sind: Da hatte ich ja 5*10^45 raus, ist das richtig?

Und wieso 0,25? Ist das ein tippfehler? Sollte es nicht 0,5 heißen?

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Ich habe bei der Varianz nämlich: 2,5*10^27 raus, bin deshalb etwas verwirrt. LG

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Die W-keit ist kleiner als Tschebyscheff Risiko, wie ich bereits schrieb. In der Formel steht ein kleiner(-gleich) kein gleich. 0.25 ist kein Tippfehler, da p(1-p). Und du hast die selbe Varianz wie ich. Die Prozentangabe ist komplett falsch, und eigentlich müsste das dir allein schon von der Größenordnung auffallen. (Das hab ich hier gestern schon in den Kommentaren geschrieben.) Mal als Ferndiagnose: Du hast Riesenlücken in den Grundlagen (Mittelstufenstoff). Wenn du nichts dagegen machst wirst du entsprechende Probleme bei fortgeschritteneren Aufgaben kriegen, wenn du die nicht schon hast.

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Danke. Das ich kein Stochastik kann, ist mir nicht neu. Aber ich lerne und werde es hoffentlich auch schaffen.

Ich habe noch eine Frage, bitte helft mir auch hier:
Wir teilen ein Viertel des Raumes ab. Die Luftmoleküle hier im Raum sind sehr zahlreich, und sie sind ständig in heftiger Bewegung. Denke dir, eine trüge eine rote Mütze. Nun machst du ein Foto und schaust nach, ob sich das Molekü mit der roten Mütze in dem hinteren Viertek des Raumes befindet. Das wird mit der W. p=1/4 der Fall sein. Wir gehen davon aus, dass jedes der- sagen wir - N = 6*1025 Luftteilchen seinen Aufenthaltsort im raum gewählt hat, ohne sich um die anderen zu scheren.

a) Wieviele Teilchen sollten sich im hinteren Raumteil etwa aufhalten?

b) Wie groß ist die W., dass der Anteil der Teilchen im hinteren Raumteil um mindestens 0,001 vom Sollwert abweicht? Gib zunächste eine Anwtort mit Hilfe der TSchebyschew-Ungleichung.

Bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht so ganz, wie ich das rechnen soll, also es heisst N= .. was soll dieses N hier heissen? Das p ist ja angegeben 1/4. Ich hoffe jemand der mehr weiß kann mir weiterhelfen. LG

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Deine Probleme imho nicht in der Stochastik sondern schon viel früher. (Mittelstufe: Prozent und Potenzrechnung,...) Und imho lernst du nicht, oder zumindest nicht richtig. Sonst könntest du die Aufgabe hier auf die andere anwenden. Man lernt Mathematik nicht indem man es sich vorkauen lässt man muss auch und insbesondere selber was machen. Vielleicht findet sich im Thread zu dieser Aufgabe ja jemand der dir die Aufgabe vorrechnet. Hier ist definitv nicht der Ort dafür.