Bestimmen Sie den Konvergenzradius.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Potenzreihe

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} e^{\frac{2 \pi i}{7} n}(z-7 i)^{n} \)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Für welche z ∈ C können Sie daraus folgern, dass die
Potenzreihe konvergiert?

Problem/Ansatz:

Ich hab versucht den limsup davon zu bilden nach Cauchy und komme dann auf r= 1 > |z-7i|

jedoch komme ich damit irgendwie nicht weiter.

Answer 1

\( r=\lim \limits_{n \to \infty} \frac{e^{(2\pi i)^n}}{e^{(2\pi i)^{n+1}}} =  \frac{1}{e^{2\pi i}}\)

Also konvergiert die Potenzreihe (mindestens) für alle z mit

\( {e^{-2\pi i}}\) > |z-7i|

Comments

Ist Dir klar, dass \(\exp(2\pi i)=1\) ist? Was ist aus der 7 im Nenner geworden? Außerdem wird der Konvergenzrsdius mit den Absolutbeträgen der Koeffizienten bestimmt.

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Der Kommentar galt ja nicht mir oder?

Ich hab die \( \sqrt[n]{x} \) gezogen und den limes gebildet und da es ja \( \sqrt[n]{x} \) aus etwas ⁿ ist komme ich auf r = 1 was mich aber ja zu neuen problemen führt

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Ich weiß nicht, was Du jetzt mit x bezeichnest. Jedenfalls sind die Koeffizienten der Potenzreihe

$$a_n=\exp(\frac{2 \pi i n}{7}) \Rightarrow |a_n|=1 \Rightarrow \sqrt[n]{|a_n}=1$$

Also ist der Konvergenzradius gleich 1 und die Reihe konvergiert (sicher) für alle komplexen z mit |z-7i|<1 und divergiert für |z-7i|>1.

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Ok dann habe ich es schon richtig verstanden, danke dir!