Beweis zum größten gemeinsamen Teiler

Question

Aufgabe:

Ich habe folgenden beweis vorliegen

Text erkannt:

Beweise:
\( a, b \in \mathbb{N} \)
a) Jst \( a \geq b \), donn ist \( \operatorname{gg} T(a, b)=\operatorname{gg} T(a-b, b) \)
b) Jst \( b=a \), donn ist \( \operatorname{gg} T(a, b)=\operatorname{ggT}(a, b-a) \)
Fiina)
Sei \( a>b \)
\( c \mid a \) and \( c / b \Rightarrow c \mid a-b \) ad \( c / b \)
\( c \mid a-b \) und \( c|b \Rightarrow c| a-b+b \) und \( c \mid b \)
\( \{c \in \mathbb{N}: c l a \wedge c \mid b\}=\{c \in \mathbb{N}: c|a-b \wedge c| b\} \)

Problem/Ansatz:

mein problem ist, dass ich nicht verstehe, inwiefern mich dieses "sei a > b" beschränkt.

Ich könnte doch auch aus diesem (c teilt a) und (c teilt b) folgern, dass (c teilt b-a) und (c teilt a) gilt

Somit könnte ich auch für b > a folgern, dass gilt ggT(a,b) = ggT(a, b-a) was allerdings nicht stimmen würde

Um die Frage nochmal kurzzufassen: Inwiefern beschränkt a > b bzw b > a die schritte in dem beweis

danke!

Answer 1

Es geht hier um natürliche Zahlen. Man will verhindern, dass a-b bzw. im anderen Fall b-a negativ wird.

Comments

Aber was wäre das Problem an Negativität? selbst wenn b-a negativ wird, ist c doch immer noch ein Teiler davon. Zum Beispiel ist 4 ein Teiler von 8 und 4 ist ein Teiler von 12 aber 4 ist auch ein Teiler von 8-12. Und auch in der Definition von Teilbarkeit wird ja von ganzen Zahlen gesprochen.

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Das sehe ich genauso wie du. Die Aufspaltung in zwei Fälle ist nicht erforderlich.