Ist f(x) = x^2 im Intervall [0,1] zur Zerlegung 4, Riemann-integrierbar?

Question

Aufgabe:

Liebes Matheforum, ich bin gerade bei den Riemann Integralen angelangt und habe die Riemann Integrierbarkeit noch nicht ganz verstanden.

Ich habe gelernt das eine Funktion Riemann integrierbar ist, falls das Oberintegral und Unterintegral gleich ist.

Ich habe für mich versucht mich an f(x) = x^2 zu probieren, mit einem Intervall [0,1] und einer Zerlegung von 4.

Dabei habe ich für Oberintegral 15/32 und Unterintegral 7/32 erhalten.

O(Z₄,f) = 1/4 * (1/16 +1/4 + 9/16 +1) und U(Z4,f) = 1/4 * (0 + 1/16 + 1/4 + 9/16)

Da O und U nicht übereinstimmen, scheint es nicht Riemann-integrierbar.

Ich habe außerdem gelesen das die Funktion in dem Intervall Riemann-integrierbar sein soll, da Sie sowohl stetig als auch monoton ist.

Was habe ich falsch gemacht bzw. nicht berücksichtigt?

Comments

Was habe ich falsch gemacht bzw. nicht berücksichtigt?

Da O und U nicht übereinstimmen, scheint es nicht Riemann-integrierbar.

O und U sind Ober-/Untersummen, nicht Ober-/Unterintegrale.

Das Oberintegral ist das Infimum der Obersummen aller Zerlegungen. Analog ist das Unterintegral das Supremum der Untersummen aller Zerlegungen.

Answer 1

Hallo

Die Werte für Ober und Untersumme unterscheiden sich fast immer, das kannst du leicht sehen, wenn du die 4 Rechtecke einzeichnest über die du summierst. es muss nur der Grenzwert für beliebig kleine Unterteilung gegen 0 gehen, also du unterteilst in n Intervalle der Länge 1/n und dann n gegen oo

grüß lul