Potenzgleichungen \(x^n = c\) kann man grafisch mithilfe von Potenzfunktionen lösen.Erläutern Sie, was in den Schaubildern dargestellt ist. Wie viele Lösungen kann es geben? Unterscheiden Sie dabei nach Werten von \(n\) und \(c\). Begründen Sie, dass für \(c > 0\) und gerades \(n\quad x = \sqrt[n\:]{c} \) und \(x = -\sqrt[n\:]{c} \) Lösungen der Gleichung sind.
Ist \(n\) ungerade, das heißt \(n=1,\:3,\:5,\,7,\dots\), so ist die durch die linke Seite der Gleichung beschriebene Potenzfunktion streng monoton steigend und unbeschränkt. Sie muss daher den Graphen der durch die rechte Seite der Gleichung beschriebenen konstanten Funktion immer in genau einem Punkt schneiden. Die Gleichung selbst besitzt dann genau eine Lösung. Diese Situation ist im linken Schaubild dargestellt.
Ist \(n\) dagegen gerade, genauer \(n=2,\:4,\:6,\,8,\dots\), so ist die Potenzfunktion nur nach oben unbeschränkt, und kann die konstante Funktion daher genau zweimal (zweites Schaubild, \(c>0\)), genau einmal (drittes Schaubild, \(c=0\)) oder gar nicht (rechtes Schaubild, \(c<0\)) schneiden. Die Anzahl der Lösungen der Gleichung beträgt dann \(2\), \(1\) oder \(0\).
