Wie bestimmt man eine Funktionsgleichung anhand einer Wertetabelle? (Potenzfunktionen)

Question

Hey ich brauche Hilfe bei einer Matheaufgabe. In der Aufgabe sind die Funktionen f und g mit f(x)=x^4 und die g(x)=x^3 gegeben. Die Graphen von f und g wurden aber verschoben und in einer Wertetabelle die neuen Koordinaten angegeben, anhand dieser Tabelle soll man nun die Funktionsgleichung durch die Verschiebung ermitteln. Eine Wertetabelle für f:

a) x   1    2     -1

 f(x) -3    12    -3

Wie ermittelt man die Funktion dann? Ich habe es mit dem Gleichsetzungsverfahren versucht aber das hat bei mir nicht funktioniert ..e

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Funktion \(y=x^4\) um \(a\) nach rechts und um \(b\) nach oben verschiebst, lautet die neue Funktionsgleichung:$$f(x)=(x-a)^4+b$$Zur Bestimmung der Verschiebungen \(a\) und \(b\) benötigst du 2 Funktionswerte. Die entnehmen wir der Tabelle:$$\begin{array}{r}-3&=&f(1)&=(1-a)^4&+&b\\12&=&f(2)&=(2-a)^4&+&b\end{array}$$Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und erhalten:$$12-(-3)=(2-a)^4-(1-a)^4\quad\Leftrightarrow\quad 15=(2-a)^4-(1-a)^4$$\(a=0\) ist eine Lösung, denn \(2^4-1^4=15\). Durch Einsetzen von \(a=0\) folgt \(b\):$$b=-3-(1-a)^4=-3-1^4=-4$$Die Funktionsgleichung lautet daher:$$f(x)=x^4-4$$

~plot~ x^4-4 ; {1|-3} ; {2|12} ; {-1|-3} ; [[-3|3|-5|15]] ~plot~

Comments

  das hat mir schon weitergeholfen. :)) Wie müsste man vorgehen, wenn man a ausrechnen will? Also z.B 19= (-1-a)³  - (-2-a)³

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Du kannst dann die Gleichung mit Hilfe der binomischen Formeln berechnen:

$$19=-(1+a)^3+(2+a)^3$$$$\phantom{19}=-(1+3a+3a^2+a^3)+(8+12a+6a^2+a^3)$$$$\phantom{19}=3a^2+9a+7$$$$12=3a^2+9a$$$$a^2+3a-4=0$$$$(a+4)(a-1)=0$$$$a=-4\quad;\quad a=1$$