Fast sichere Konvergenz

Question

ich hänge seit längerem an folgender Aufgabe:

Es sei

$$((X_k))_{k \in \mathbb{N}}$$ ein Folge unabhängiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $$( \Omega,A,P)$$ mit $$X_k \sim Exp(\sqrt(k))$$

Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer $$ Exp (\lambda)$$ verteilten Zufallsvariable (die Dichte ist gegeben durch $$f(x)=\lambda e^{- \lambda x} \mathbb{1}_{[0, \infty)} (x))$$ und zeigen Sie, dass

$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n {X_k}\longrightarrow 0 - f.s. ,\quad für \quad n \rightarrow \infty$$

Erwartungswert und Varianz sind kein Problem. Mir geht es um die fast sichere Konvergenz. Ich kenne für fast sichere Konvergenz neben der Definition nur das Starke Gesetz der großen Zahlen und Borel Cantelli.

Beim starken Gesetz der großen Zahlen ist ja gefordert, dass $$X_1, \ldots , X_n$$ unhabhängig, identisch verteilt, was hier aber nicht gegeben ist.

Bei Borel Cantelli müsste ich ja zeigen, dass $$ \sum_{n=0}^{\infty} P(\{|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^nX_k-0|\geq \epsilon\})<\infty$$

Damit komme ich aber leider auch kein Stück weiter.

Wäre für jede Hilfe dankbar.

LG
  Micha

Comments

Weißt du, wie \(\sum \limits_{k=1}^{n}X_k\) verteilt sind? Das sollte auf eine verallgemeinerte Erlangverteilung (die \(\lambda_i\) sind ungleich) hinauslaufen.

Vielleicht kommst du so an die Wahrscheinlichkeit und kannst Borel-Cantelli anwenden.

Ansonsten gibt es noch "schwereres Geschütz".

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Hallo racine_carrée,

Die Verteilung von $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n {X_k}$$ kenne ich nicht. Mit der Faltungsformel zu arbeiten hat auch zu keinem Ergebnis geführt. Die verallgemeinerte Erlangverteilung hatte ich auch noch nicht. Die Aufgabe ist aus einer Stochastik Altklausur und die Mittel die ich zum Lösen haben sind lediglich das Starke GdgZ und Borel-Cantellie.

LG

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Du kannst das erste Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow anwenden. Laut diesem muss neben der Unabhängigkeit der \(X_k\) die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{V(X_k)}{k^2}\) endlich sein. Das ist in deinem Fall erfüllt.