Aufgabe:
\( \left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sei eine Folge von nichtnegativen diskreten Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) und es gelte \( X_{n+1}(\omega) \leq X_{n}(\omega) \quad \forall n \in \mathbb{N}, \forall \omega \in \Omega \)
Zeigen Sie, dass aus \( X_{n} \stackrel{P}{\longrightarrow} 0 \) auch \( X_{n} \stackrel{P-f . s .}{\longrightarrow} 0 \) folgt!
Hinweis: Es gilt \( \left\{\omega \in \Omega: X_{n}(\omega) \neq 0\right\}=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=1}^{\infty} B_{n}^{(k)}, \) wobei
\( B_{n}^{(k)}=\left\{\omega \in \Omega: X_{m}(\omega) \geq 1 / k \quad\right. \) für ein \( \left.m \geq n\right\}=\left\{\omega \in \Omega: X_{n}(\omega) \geq 1 / k\right\} \)
(Die letzte Gleichheit gilt wegen \( \left.X_{n+1}(\omega) \leq X_{n}(\omega) .\right) \)
Problem/Ansatz:
Ich habe leider garkeinen Ansatz und versteh auch den Hinweis nicht. Vielleicht kann ja jemand helfen :)
