Aloha :)
zu a) Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=2x^2-3x^2y+y^2$$sind die Nullstellen des Gradienten:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{4x-6xy}{-3x^2+2y}\implies\left\{\begin{array}{c}4x=6xy\\2y=3x^2\end{array}\right.$$
Für \((x=0)\) ist die obere Gleichung stets erfüllt und aus der unteren folgt \((y=0)\).
Für \((x\ne0)\) liefert die obere Gleichung \((4=6y)\) bzw. \((y=\frac23)\). Für dieses \(y\) wird dann die zweite Gleichung zu \((2\cdot\frac23=3x^2)\) und daraus folgt \((x=\pm\frac23)\).
Wir haben also 3 Kandidaten für Extremwerte gefunden:$$K_1(0|0)\quad;\quad K_2\left(-\frac23\bigg|\frac23\right)\quad;\quad K_3\left(\frac23\bigg|\frac23\right)$$
Zur Prüfung dieser Kandidaten benötigen wir die Hesse-Matrix der Funktion:$$H_f(x;y)=\left(\begin{array}{c}4-6y &-6x\\-6x & 2\end{array}\right)$$setzen die Kandidaten ein und prüfen die Eigenwerte der Matrix:$$H_f(0;0)=\left(\begin{array}{c}4 &0\\0 & 2\end{array}\right)\implies \lambda_1=4\;\land\;\lambda_2=2$$$$H_f\left(-\frac23;\frac23\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 4\\4 & 2\end{array}\right)\implies \lambda_1=1+\sqrt{17}\;\land\;\lambda_2=1-\sqrt{17}$$$$H_f\left(\frac23;\frac23\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & -4\\-4 & 2\end{array}\right)\implies \lambda_1=1+\sqrt{17}\;\land\;\lambda_2=1-\sqrt{17}$$
Im ersten Fall \(K_1(0;0)\) sind beide Eigenwerte positiv. Die Hesse-Matrix ist daher positiv definit, sodass bei \(K_1\) ein Minimum vorliegt.
In den beiden anderen Fällen haben beide Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen. Die Hesse-Matrix ist daher indefinit, sodass dort keine Extrema vorliegen.
Wir fassen zusammen: Die Funktion \(f(x;y)\) hat ein lokales Minimum an der Stelle \((0|0)\).
zu b) Die Richtungsableitung erhältst du, indem du den Gradient an der Stelle \((2|2)\) auswertest und mit der Richtung des Vektors \(\vec a=(1;1)^T\) multiplizierst. Die Richtung eines Vektors ist auf die Länge \(1\) normiert, sodass wir den Vektor \(\vec a\) durch seine Länge dividieren müssen:$$D_{\vec a}(2;2)=\operatorname{grad}f(2;2)\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}=\binom{-16}{-8}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}=\frac{-16-8}{\sqrt2}=-\frac{24}{\sqrt2}=-12\sqrt2$$
