Aloha :)
zu a) Bei der ersten Richtungsableitung benutzt man den Gradienten$$D^1_{\vec v}f(\vec x)=\operatorname{grad}f(\vec x)\cdot\vec v^0$$und bei der zweiten Richtungsableitung die Hesse-Matrix:$$D^2_{\vec v}f(\vec x)=(\vec v^0)^T\cdot H_f(\vec x)\cdot \vec v^0$$
Richtungsvektoren sind auf die Länge 1 normiert, daher ist:$$\vec v^0=\frac{1}{\|\vec h\|}\vec h=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+7^2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{51}}\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}$$Zur Bestimmung der Hesse-Matrix der Funktion:$$g(x;y;z)=z\ln x-e^y$$bestimmen wir zuerst den Gradienten bzw. die Jacobi-Matrix$$J_g(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac zx & -e^y & \ln x\end{pmatrix}$$und leiten dann nochmal partiell ab:$$H_g(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}J_g(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}J_g(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}J_g(x;y;z)\\[1ex]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{z}{x^2} & 0 & \frac1x\\[1ex]0 & -e^y & 0\\\frac1x & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Speziell in der Umgebung von \(Q(1|0|4)\) lautet die Hesse-Matrix daher:$$H_g(1;0;4)=\begin{pmatrix}-4 & 0 & 1\\[1ex]0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$sodass wir die gesuchte Richtungsabeltung wie folgt bestimmen können:$$D^2_{\vec h}g(1;0;4)=\frac{1}{\sqrt{51}}\begin{pmatrix}1 & -1 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4 & 0 & 1\\[1ex]0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{51}}\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}=\cdots=\frac{9}{51}$$
zu b) Hier kannst du die Definitheit der Hesse-Matrix für \(Q(1|0|4)\) zu Rate ziehen.
Die Hauptminoren von \(H_g(1;0;4)\) lauten:$$M_1=-4\quad;\quad M_2=\left|\begin{array}{c}-4 & 0\\0 & -1\end{array}\right|=4 \quad;\quad M_3=\left|\begin{array}{c}-4 & 0 & 1\\[1ex]0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{array}\right|=1$$Sie weichen von dem Muster \(+++\) für positiv definit und \(-+-\) für negativ definit ab.
Daher ist \(H_g(1;0;4)\) indefinit und die Funktion \(g\) ist in der Nähe von \(Q\) weder konkav noch konvex, sondern hat konkave und konvexe Richtungen.
