Berechnen Sie die zweite Richtungsableitung von g im Punkt Q(1|0| 4) in Richtung \vec{h}=(1,-1,7)t !

Question

Text erkannt:

F3. Gegeben ist die Funktion $g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{3} \cdot \ln x_{1}-e^{x_{2}}$.
(a) Berechnen Sie die zweite Richtungsableitung von $g$ im Punkt $Q(1|0| 4)$ in Richtung $\vec{h}=(1,-1,7)^{t}$ !
(b) Kreuzen Sie die richtige Aussage an und begründen Sie durch eine Rechnung: Die Funktion $g$ ist in einer Umgebung von $Q$
konvex
konkav
von $Q$ aus hat $g$ konvexe und konkave Richtungen

Aufgabe:

Problem/Ansatz: hi, wie rechnet man diesen Aufgabe? Kann mir jemand helfen? Danke im VORAUS!!!

Answer 1

Aloha :)

zu a) Bei der ersten Richtungsableitung benutzt man den Gradienten$$D^1_{\vec v}f(\vec x)=\operatorname{grad}f(\vec x)\cdot\vec v^0$$und bei der zweiten Richtungsableitung die Hesse-Matrix:$$D^2_{\vec v}f(\vec x)=(\vec v^0)^T\cdot H_f(\vec x)\cdot \vec v^0$$

Richtungsvektoren sind auf die Länge 1 normiert, daher ist:$$\vec v^0=\frac{1}{\|\vec h\|}\vec h=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+7^2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{51}}\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}$$Zur Bestimmung der Hesse-Matrix der Funktion:$$g(x;y;z)=z\ln x-e^y$$bestimmen wir zuerst den Gradienten bzw. die Jacobi-Matrix$$J_g(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac zx & -e^y & \ln x\end{pmatrix}$$und leiten dann nochmal partiell ab:$$H_g(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}J_g(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}J_g(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}J_g(x;y;z)\\[1ex]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{z}{x^2} & 0 & \frac1x\\[1ex]0 & -e^y & 0\\\frac1x & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Speziell in der Umgebung von $Q(1|0|4)$ lautet die Hesse-Matrix daher:$$H_g(1;0;4)=\begin{pmatrix}-4 & 0 & 1\\[1ex]0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$sodass wir die gesuchte Richtungsabeltung wie folgt bestimmen können:$$D^2_{\vec h}g(1;0;4)=\frac{1}{\sqrt{51}}\begin{pmatrix}1 & -1 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4 & 0 & 1\\[1ex]0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{51}}\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}=\cdots=\frac{9}{51}$$

zu b) Hier kannst du die Definitheit der Hesse-Matrix für $Q(1|0|4)$ zu Rate ziehen.

Die Hauptminoren von $H_g(1;0;4)$ lauten:$$M_1=-4\quad;\quad M_2=\left|\begin{array}{c}-4 & 0\\0 & -1\end{array}\right|=4 \quad;\quad M_3=\left|\begin{array}{c}-4 & 0 & 1\\[1ex]0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{array}\right|=1$$Sie weichen von dem Muster $+++$ für positiv definit und $-+-$ für negativ definit ab.

Daher ist $H_g(1;0;4)$ indefinit und die Funktion $g$ ist in der Nähe von $Q$ weder konkav noch konvex, sondern hat konkave und konvexe Richtungen.