Berechnen Sie die Richtungsableitung im Punkt (2, 1) in Richtung v = ( 4/5, 3/5)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Richtungsableitung im Punkt (2, 1) in Richtung v = ( 4/5, 3/5)
für die Funktion f : R² → R, f(x, y) := x² + 4xy³

Problem/Ansatz:

f_x (x,y) = 2x+4y³

f_y (x,y) = 12xy²

f_x(2,1) = 8

f_y(2,1) = 24

\( \frac{∂f}{∂v} \) = ∇_f (2,1) * v = \( \begin{pmatrix} 8\\24 \end{pmatrix} \) *  \( \begin{pmatrix} 4/5\\3/5 \end{pmatrix} \) = 32/5 + 72/5 = 104/5

v^-1 =  \( \sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2} \) = \( \sqrt{1} \)

104/5 * \( \sqrt{1} \) = \( \frac{104 * \sqrt{1}}{5} \).

Ist meine Rechnung so richtig?

Answer 1

Aloha :)

Du hast den Gradienten der Funktion an der Stelle \((2|1)\) mit dem normierten(!) Richtungsvektor multipliziert und alles richtig gerechnet.\(\quad\checkmark\)

Comments

Danke dir. Habe gerade in die Lösungen einer anderen Aufgabe geschaut. Da wurde mit dem Kehrwert multipliziert. Also wenn ich hier sqrt(1) habe, müsste ich doch dann eher 104/5 * 1/sqrt(1) multiplizieren, anstatt direkt mit sqrt(1), oder?

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Du musst den Gradienten immer mit dem normierten Richtungsvektor der Länge \(1\) multiplizieren. Daher ist es richtig, durch die Länge des Richtungsvektors zu dividieren.

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Ok, danke dir, also Gradient * 1/sqrt(1) in diesem Falle.

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Ja genau, weil der Richtungsvektor hier bereits auf die Länge \(1\) normiert vorliegt.

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Hallo,

wenn v z.B. \( \begin{pmatrix} 3/15\\12/15 \end{pmatrix} \) wäre, dann müsste ich ihn vorher auf die Länge 1 normieren, bevor ich mit ihm multipliziere, oder?

und grundsätzlich könnte ich solche Aufgaben mit dieser Formel einfacher lösen, oder?

<Grad f(x0,y0), \( \begin{pmatrix} v1\\v2 \end{pmatrix} \)> = ...

Das kann ich immer machen, vorausgesetzt, der Vektor v ist auf Länge 1 normiert, oder?

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Ja genau, der Gradient muss mit dem auf die Länge 1 normierten Richtungsvektor multipliziert werden!

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Ok, aber dann hätte ich ja ein anderes Ergebnis als bei meiner ersten Rechnung.

Bei der Rechnung mit dem Skalarprodukt hätte ich doch dann 32/5v1 + 72/5v2. Oder lasse ich v1 und v2 weg und rechne beide Werte zusammen, also 104/5, und bin dann fertig?

Bei dieser Aufgabe hat v ja schon die Länge 1.

Sind beide Lösungen richtig? Entweder 32/5v1 + 72/5v2 als Ergebnis angeben, oder eben 32/5 + 72/5 = 104/5 als Ergebnis angeben?