Gradientenvektor im Punkt P(1,2) und Richtungsableitung: f(x,y)=(x^2 + y^2 - 4)/(x-2)

Question

ich bräuchte einige Hilfestellung bei folgender Aufgabe:

Geg:

  \( f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x-2} \)

Nun soll der Gradientenvektor im Punkt (1,2) bestimmt werden und zudem die Richtungsableitung (Ableitung in Richtung des Vektors (2,1).

Ich hoffe auf eure Hilfe:)

Gruß

Answer 1

Der Gradient ist der Vektor der partiellen Ableitungen in dem Punkt.

f ' _x (x,y) =  (x^2-4x-y^2+4)/(x-2)^2    also   f ' _x (1,2) = -3
f ' _y (x,y) = 2y / (x-2)                       f ' _y (1,2) = -4

also grad   (  -3  /  -4 )

und das Skalarprodukt  (  -3  /  -4 )  * v ist die Richtungsabl. hier also t  (  -3  /  -4 )*(2/1) = -10.

Comments

Super, danke für deine Hilfe:) Wie du auf f ' y(x,y) kommst ist mir bewusst, aber könntest du mir vielleicht ausführlich zeigen wie du aus f ' x(x,y) kommst?

für deine Antwort:)

Lieben Gruß

Michelle

---

(x^2 + y^2 -4) / (x-2) nach x ableiten geht mit der Quotientenregel:

u(x) = x^2 + y^2 -4  gibt u ' (x) = 2x

v(x) =  x-2    gibt v ' (x) = 1

Regel  (v*u ' - u * v ' ) / v^2

also    ( (x-2)*2x  -  (x^2 + y^2 -4)*1  )   /   ( x-2)^2

und dann halt den Zähler ausrechnen.