Richtungsableitung im Punkt (0,0) einer abschnittweise definierten Funktion

Question

Es seien Q := (0, ∞)^2, sowie g : R^2 → R definiert durch:

             {   sqrt(||(x, y)| + 1), für (x,y) in Q

g(x) :=  {

             {  cos(||(x,y)||), für (x,y) in R^2 ohne Q

Für welche Richtungsvektoren a ∈ R^2 mit ||a|| = 1 existiert die Richtungsableitung ∂g/∂a (0,0)?

Hier bin ich aufgrund der Definition von g nicht sicher wie ich vorgehen soll.

Allgemein würde ich erst einmal die partiellen Ableitungen in (0,0) berechnen.

f_x (0,0) = lim _h->0  (f(h,0) -f(0,0))/h mit f(0,0) = 1

für h in Q also sqrt(h+1)-1/h -> 1/2 für (h->0)

und für h in R^2 ohne Q ( cos(h)-1 )/h -> 0 (h->0)

Analog für f_y

Dann würde ich eine beliebige Richtung a=(a₁ ,a₂ ) in R^2 nehmen

∂g/∂a (0,0)=lim _t->0  ( f( (0,0) +ta ) - f(0,0) )/t

Hier bekomme ich dann heraus, dass die Richtungsableitung nur für a in R^2 ohne Q existiert und den Wert 0 hat.

Ich würde mich über Hilfe freuen für mich sieht das alles falsch aus

Ich bedanke mich schon mal im Voraus

Gruß Hakai

Answer 1

  Was soll sqr ( x , y ) heißen und was cos ( x , y ) ?  Mich ärgert. dass hier keine Originalvorlagen hochgeladen werden dürfen.

Comments

Ja das wäre wesentlich leichter dann.

sqrt(||(x,y)||) bedeutet die Wurzel von der euklidschen Norm von (x,y) (||(x,y)||= √(x^2 + y^2)) und ja das zweite ist der cos( √(x^2 + y^2) ).

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  Es istz eigentlich egal, um welchen Winkel du dein Achsenkreuz drehst.  Du hast doch immer

     ( dr/dx )  =  x/r         (  1  )

    Wenn du jetzt setzt

     x  =  r  cos  (  ß  )     (  2  )

    bekommst du einen unbestimmten Ausdruck, weil ß  im Ursprung nicht definiert ist.