Berechnen Sie die Richtungsableitung im Punkt (2, 1) in Richtung v = ( 4/5, 3/5)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Richtungsableitung im Punkt (2, 1) in Richtung v = ( 4/5, 3/5)
für die Funktion f : R² → R, f(x, y) := x² + 4xy³

Problem/Ansatz:

f_x (x,y) = 2x+4y³

f_y (x,y) = 12xy²

f_x(2,1) = 8

f_y(2,1) = 24

$\frac{∂f}{∂v}$ = ∇_f (2,1) * v = $\begin{pmatrix} 8\\24 \end{pmatrix}$ *  $\begin{pmatrix} 4/5\\3/5 \end{pmatrix}$ = 32/5 + 72/5 = 104/5

v^-1 =  $\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}$ = $\sqrt{1}$

104/5 * $\sqrt{1}$ = $\frac{104 * \sqrt{1}}{5}$.

Ist meine Rechnung so richtig?

Answer 1

Aloha :)

Du hast den Gradienten der Funktion an der Stelle $(2|1)$ mit dem normierten(!) Richtungsvektor multipliziert und alles richtig gerechnet.$\quad\checkmark$

Comments

Danke dir. Habe gerade in die Lösungen einer anderen Aufgabe geschaut. Da wurde mit dem Kehrwert multipliziert. Also wenn ich hier sqrt(1) habe, müsste ich doch dann eher 104/5 * 1/sqrt(1) multiplizieren, anstatt direkt mit sqrt(1), oder?

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Du musst den Gradienten immer mit dem normierten Richtungsvektor der Länge $1$ multiplizieren. Daher ist es richtig, durch die Länge des Richtungsvektors zu dividieren.

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Ok, danke dir, also Gradient * 1/sqrt(1) in diesem Falle.

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Ja genau, weil der Richtungsvektor hier bereits auf die Länge $1$ normiert vorliegt.

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Hallo,

wenn v z.B. $\begin{pmatrix} 3/15\\12/15 \end{pmatrix}$ wäre, dann müsste ich ihn vorher auf die Länge 1 normieren, bevor ich mit ihm multipliziere, oder?

und grundsätzlich könnte ich solche Aufgaben mit dieser Formel einfacher lösen, oder?

<Grad f(x0,y0), $\begin{pmatrix} v1\\v2 \end{pmatrix}$> = ...

Das kann ich immer machen, vorausgesetzt, der Vektor v ist auf Länge 1 normiert, oder?

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Ja genau, der Gradient muss mit dem auf die Länge 1 normierten Richtungsvektor multipliziert werden!

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Ok, aber dann hätte ich ja ein anderes Ergebnis als bei meiner ersten Rechnung.

Bei der Rechnung mit dem Skalarprodukt hätte ich doch dann 32/5v1 + 72/5v2. Oder lasse ich v1 und v2 weg und rechne beide Werte zusammen, also 104/5, und bin dann fertig?

Bei dieser Aufgabe hat v ja schon die Länge 1.

Sind beide Lösungen richtig? Entweder 32/5v1 + 72/5v2 als Ergebnis angeben, oder eben 32/5 + 72/5 = 104/5 als Ergebnis angeben?