Indikatorfunktion Faltung Stochastik

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beispiel: Ist \( P \) die uniforme Verteilung auf \( (0,1) \), so hat \( P \star P \) die Dichte \( 1_{(0,1)} \star 1_{(0,1)} \). Die ist für \( y \leq 0 \)
\( 1_{(0,1)} \star 1_{(0,1)}(y)=\int \limits_{0}^{1} 1_{(0,1)}(y-x) d x=0, \)
für \( 0<y<1 \)
\( 1_{(0,1)} \star 1_{(0,1)}(y)=\int \limits_{0}^{1} 1_{(0,1)}(y-x) d x=\int \limits_{0}^{y} d x=y, \)
für \( 1 \leq y<2 \)
\( 1_{(0,1)} \star 1_{(0,1)}(y)=\int \limits_{0}^{1} 1_{(0,1)}(y-x) d x=\int \limits_{y-1}^{1} d x=2 \mid-y \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf die Werte für 0<y<1 und 1<y<2? Das erste Integral ist mir klar, da y-x<0 und somit das innere des Integrals 0 ist. Bei den anderen Integralen wurden die Grenzen ersetzt. Wie kann man diesen Schritt erklären?

Comments

Für die Intuition ist vielleicht ein visuelles Verständnis der Faltung sinnvoll:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Convolution_of_box_signal_with_itself2.gif

Ist zwar nicht ganz dein Fall, aber du kannst es gedanklich auf deinen übertragen.

Answer 1

Betrachte das Integral  \( \int \limits_{0}^{1} 1_{(0,1)}(y-x) d x\) genauer.

Damit dieses Integral überhaupt einen von Null verschiedenen Beitrag leisten kann, müssen folgende Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein:

\(0<x<1\quad (1)\)

und

\(0<y-x<1\quad (2)\)

Jetzt schreibst du die Ungleichungskette (2) einfach um:

\((2) \Leftrightarrow y-1 <x < y \quad (3)\)

Die Ungleichungskette (3) kann nur dann x-Werte liefern, die auch (1) erfüllen, wenn

\(0<y<2\).

Der Rest ist jetzt einfach:

\(\boxed{0<y<1} \Rightarrow y-1 < 0 < y < 1 \stackrel{(3),(1)}{\Rightarrow} \boxed{0<x< y}\)

\(\boxed{1<y<2} \Rightarrow 0 < y-1 < 1 < y < 2 \stackrel{(3),(1)}{\Rightarrow} \boxed{y-1<x< 1}\)

Answer 2

Dies hier ist die graphische Lösung:

Der Trick ist: Du berechnest das Faltungsintegral für z. B. x = ¼, x = ½, x = ¾ usw. und siehst dann schon, wie die Funktion (f*g)(x) für konkrete x-Werte aussehen wird.