Berechnen Sie die Länge des Lots.

Question

Hallo ihr Mathefreaks,

ich habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe. Könntet ihr mir bitte helfen?

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll. Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen. Die Aufgabe lautet:

Text erkannt:

7 Vektorrechnung (5 Punkte)
Gegeben sind eine Ursprungsgerade in die Richtung des Vektors \( \vec{g} \) und ein Punkt am Ort \( \vec{p} \) wie abgebildet mit
\( \vec{g}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{p}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -8 \\ 6 \end{array}\right) . \)
Berechnen Sie die Länge des Lots.

Vielen Dank!

Comments

Wie soll das gelöst werden? Was ist euer Vorwisen?

Elementargeometrie?

Extremwertaufgaben?

Hessesche Normalenform?

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Das Bild zur Aufgabe:

(klick drauf)

Answer 1

Sei F der Lotfußpunkt auf der Geraden g. Dann gilt:

PF = F - P = [2·r, - 2·r, 4·r] - [4, -8, 6] = [2·r - 4, 8 - 2·r, 4·r - 6]

PF ist senkrecht zu g

[2·r - 4, 8 - 2·r, 4·r - 6]·[2, -2, 4] = 24·r - 48 = 0 --> r = 2

Damit jetzt die Länge von PF ermitteln

|[2·2 - 4, 8 - 2·2, 4·2 - 6]| = 2·√5

Comments

Danke für deine Hilfe! :)

Answer 2

Schnappe dir eine Hilfsebene, die den Vektor g als Normalenvektor hat und der Punkt P liegt auf der Ebene. Also erstelle daraus die Ebene in Koordiantenform.

Jetzt nimmst du deine eigentlich Gerade also nur den Vektor g und lässt diesen mit deiner aufgestellten Hilfsebene schneiden. (alos für x1 setzt du 2r, für x2 -2r und für x3 4r ein) nun erhältst du einen Wert für r. Diesen setzt du in die Gerade ein und erhältst einen Punkt.

Zwischen diesem Punkt und dem Punkt P bestimmst du nun den Abstand.

Answer 3

Die Projektion a von \( \vec{p} \) auf \( \vec{g} \) erfüllt die Gleichung:

\( \vec{p} \) ·\( \vec{g} \)= a·|\( \vec{g} \)|.

Dann gilt für die Länge t der gesuchten Lotes:

a²+t²=|\( \vec{p} \)|².