Die Intelligenz - das Erkenntnisvermögen des einzelnen Menschen - kann durch langerprobte IQ-Tests gemessen werden. Dabei wird angenommen, das die Messgröße, der Intelligenzquotient (IQ), in der Bevölkerung normalverteilt ist. Der mittlere IQ in der deutschen Bevölkerung wird mit μ = 100 angesetzt, die Standardabweichung beträgt σ = 15.
a) Welcher Prozentsatz der deutschen Bevölkerung hat einen IQ von über 100 ?
P(X > 100) = 50%
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person einen IQ zwischen 90 und 120 ?
P(90 < X < 120) = Φ((120 - 100)/15) - Φ((90 - 100)/15) = 65.63%
c) Als hochintelligent werden Personen mit einem IQ über 130 bezeichnet. Wieviele hochintelligente Menschen gibt es in einer Kleinstand mit 30000 Einwohnern?
P(X > 130) = 1 - Φ((130 - 100)/15) = 2.28%
d) Gesucht ist ein symmetrisches Intervall um den Intelligenzquotienten 130, in dem 4% der deutschen Bevölkerung liegen. Interpretieren Sie das Ergebnis.
P(130 - k < X < 130 + k) = Φ((130 + k - 100)/15) - Φ((130 - k - 100)/15) = 0.04 --> k = 5.240
P(124.76 < X < 135.24) = 4%
e) Welchen Intelligenzquotienten muss man theoretisch besitzen, um zu den 10000 intelligentesten* Deutschen zu zählen?
10000 / 83000000 = 0.0001205
P(X > k) = 1 - Φ((k - 100)/15) = 0.0001205 --> k = 155.1
