Kurvendiskussion zum Düngemitteleinsatz

Question

Aufgabe:

Düngemittel
Der landwirtschaftliche Ertrag kann gesteigert werden, indem Düngemittel auf die Felder ausgebracht werden. Der Ertrag ist
jedoch nicht beliebig steigerbar, sondern erreicht bei einer bestimmten Düngermenge sein Maximum. Eine weitere Düngung
führt zu Ertragseinbußen und schließlich zur Vergiftung des Bodens. Der Zusammenhang zwischen Ernteertrag und Dün-
gereinsatz lässt sich für ein landwirtschaftliches Produkt näherungsweise durch die Funktion E (x) = − 1/27x^3 + 4/9x^2+ x +10
beschreiben. (x Düngemitteleinsatz in kg/ha, E (x) . . . Ernteertrag in Zentner pro Hektar bei Düngemitteleinsatz x)
(a) Wie hoch ist der Ertrag pro Hektar ohne Düngung?
(b) Berechnen Sie, bei welchem Düngemitteleinsatz der Ertrag maximal ist und geben Sie den maximalen Ertrag an. (c) Bestimmen Sie, bei welcher Düngermenge die Ertragszunahme am größten ist.
(d) Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem maximalen Ertragszuwachs und dem Wendepunkt der Funktion E. (e) Bestimmen Sie die Düngermenge, die zu einem Nullertrag führt. (Bodenvergiftung)

Problem/Ansatz:

Ich tu mich bei diesem Beispiel schwer.

Über hilfreiche Rechenwege mit Erklärungen würde ich mich freuen.

Answer 1

(a) Wie hoch ist der Ertrag pro Hektar ohne Düngung?

E(0)=10
(b) Berechnen Sie, bei welchem Düngemitteleinsatz der Ertrag maximal ist und geben Sie den maximalen Ertrag an.

E'(x)= \( \frac{1}{9} \)·(-x²+8x+9)

-x²+8x+9=0 hat die Lösungen x=9 und x= - 1

(c) Bestimmen Sie, bei welcher Düngermenge die Ertragszunahme am größten ist.

Das ist  im Wendepunkt  der Fall.

E''(x)= \( \frac{1}{9} \)·(8-2x)

8-2x=0 hat die Lösung x=4

(d) Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem maximalen Ertragszuwachs und dem Wendepunkt der Funktion E.

Siehe c)

(e) Bestimmen Sie die Düngermenge, die zu einem Nullertrag führt. (Bodenvergiftung)

x>15; also rechts von der positiven Nullstelle.

Answer 2

(a) Wie hoch ist der Ertrag pro Hektar ohne Düngung?

f(0) = 10

(b) Berechnen Sie, bei welchem Düngemitteleinsatz der Ertrag maximal ist und geben Sie den maximalen Ertrag an.

f '(x)= 0

-1/9x^2+8/9*x+1 = 0

x^2-8x-9 = 0

pq-Formel:

x1/2=4+-√(16+9)

x1= 9

x2= -1 (entfällt)

f(9) = ...

c)

f''(x) = 0

-2/9*x+8/9 =0

x= 4

d) ....

e) f(x) =0

Verwende ein Näherungsverfahren.

Lösung: x= 15

(c) Bestimmen Sie, bei welcher Düngermenge die Ertragszunahme am größten ist.
(d) Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem maximalen Ertragszuwachs und dem Wendepunkt der Funktion E. (e) Bestimmen Sie die Düngermenge, die zu einem Nullertrag führt. (Bodenvergiftung)

− 1/27x3 + 4/9x2+ x +10