Fehler beim Aufstellen des charakteristisches Polynoms einer Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Eigenwerte der folgenden Matrix:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 9 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe das charakteristische Polynom aufgestellt und soweit wie möglich vereinfacht:

\( \chi(\lambda) = (1 - \lambda) \cdot (2 - \lambda) \cdot (2 - \lambda) + 10 - 9 \cdot (2 - \lambda) - (1 - \lambda) + (2 - \lambda) \\ = (1 - \lambda) \cdot (\lambda^2 - 4 \cdot \lambda + 4) + 10 - 18 + 9 \cdot \lambda - 1 + \lambda + 2 - \lambda \\ = - \lambda^3 + 5 \cdot \lambda^2 + \lambda - 3 \\ = \lambda \cdot (-\lambda^2 + 5 \cdot \lambda + 1) - 3 \)

Jetzt habe ich zwei Fragen: Zum einen sollte die korrekte Lösung \( \lambda^3 - 5 \cdot \lambda^2 - \lambda + 5 \) sein. Wo liegt mein Fehler? Zum anderen hatte ich bisher nur mit Fällen der Form \( x \cdot \lambda^3 + y \cdot \lambda^2 + z \cdot \lambda \) zu tun, wo ich dann ein \( \lambda \) ausgeklammert, dann den Nullproduktsatz und die pq-Formel angewendet habe. Wie gehe ich mit dem letzten Summanden \( -3 \) bzw. \( 5 \) um?

Answer 1

Du hast direkt irgendwas zu 10 zusammengefasst, das ist riskant. Im ersten Schritt steht da -1+9, und dann kommt alles hin.

Generell: manchmal wird das char. Pol. als \(\det(A-\lambda I)\), manchmal als \(\det (\lambda I-A)\), die beiden Versionen unterscheiden sich im Faktor -1 (im Fall n=3).

Insofern stimmt sowohl Deine Version als auch die Lösung, achte auf die Def. in Deiner Lehrveranstaltung und nicht auf das, was im Internet steht.

Zu den Nullstellen: Hast Du vermutlich auch mal gelernt: Man errät eine Nullstelle \(x_0\) (schnelles Auswerten mit Horner-Schema) und spaltet dann den Faktor \((x-x_0)\) ab (mit Polynomdivision, oder geschenkt, wenn mit Horner-Schema ausgewertet). Übrig bleibt ein Polynom vom Grad 2, dessen Nullstellen leicht zu finden sind.

Answer 2

Aloha :)

Für \((\lambda=0)\) müsste bei dem charakteristischen Polynom die Determinante der Matrix als Ergebnis rauskommen. Die Determinante ist \((-5)\), aber dein Ergebnis liefert \((-3)\).

Du hast einen Rechenfehler bei der Regel von Sarrus gemacht. Richtig wäre:$$p(\lambda)=\green{(1-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda)}+\overbrace{\green{(-1)}+\green{9}}^{=8}-\red{9(2-\lambda)}-\red{(1-\lambda)}+\red{(2-\lambda)}$$Bei dir ist der überklammerte Teil gleich \(10\) und nicht gleich \(8\).

Wenn du das ausrechnest erhältst du:$$p(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2+\lambda-5$$Ganzzahlige Nullstellen müssen die "nackte" Zahl (gemeint ist diejenige ohne \(\lambda\)) teilen. Die Zahl ohne \(\lambda\) ist die \((-5)\). Ihre Teiler sind \((\pm1)\) und \((\pm5)\). Wir probieren diese Kandidaten aus und finden 3 Nullstellen bzw. 3 Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=5$$