Hebbare Singularität, f(z0), sodass f in z0 analytisch

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass z₀=0 eine hebbare Singularität ist und f(z₀) so bestimmen, dass f in z₀ analytisch ist.

Problem/Ansatz:

f(z) = \( \frac{sin(4z) - 4z}{z^{2}} \)

entwickelt nach: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}*4^{2n+1}*z^{2n-1} -\frac{4z}{z^{2}} } \)

= (( \( \frac{4z}{z^{2}} \)  - \( \frac{4z}{z^{2}} \) ) - ( \( \frac{32z^{3}}{3z^{2}} \) - \( \frac{12z}{3z^{2}} \) ) +.....)

= (( 0 - ( \( \frac{32z^{3}}{3z^{2}} \) - \( \frac{12z}{3z^{2}} \) ) +.....)

Das sagt mir jetzt, dass z₀ = 0 eine hebbare Singularität ist, weil es keinen Haupteil bzw. keine negativen Potenzen gibt. Ich verstehe nicht ganz, wo genau das z₀ ins Spiel kommt. Kann mir jemand ein Beispiel geben, wo es sich nicht um eine hebbare Singularität handelt? Wie gehe ich für den zweiten Teil der Aufgabe vor?

Answer 1

Hallo

du findest den GW für z->0, der ist  und dann definierst du f(0)=0.

Mit z^3 im Nenner oder  cos statt sin wäre es nicht stetig ergänzbar.

(man muss auch nicht entwickeln, sondern wendet L'Hopital 2 mal an)

Gruß lul