Monotone Likelihood Quotienten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Satz 5.11. (Monotone Likelihood-Quotienten) Seien \( \Theta \subset \mathbb{R} \) und \( \Omega \subset \mathbb{R} \) derart, dass für jedes Paar \( \theta_{0}, \theta_{1} \) von Parametern mit \( \theta_{0}<\theta_{1} \) der Likelihood-Quotient \( \frac{L\left(\theta_{1}, x\right)}{L\left(\theta_{0}, x\right)} \) eine monoton wachsende Funktion von \( x \) ist. Dann ist für jedes \( z \in \mathbb{R} \) die Funktion \( \theta \mapsto \) \( P_{\theta}((z, \infty)) \) monoton wachsend, das heißt die Verteilungsfunktion \( F_{\theta}(z) \) ist monoton fallend in \( \theta \).

Beweis: Fixiere zwei Parameter \( \theta_{0}, \theta_{1} \) mit \( \theta_{0}<\theta_{1} \) und den Punkt \( z \). Sei \( c=\frac{L\left(\theta_{1}, z\right)}{L\left(\theta_{0}, z\right)} \). Nach Voraussetzung ist der Likelihood-Quotient höchstens gleich \( c \) in \( (\infty, z] \) und daher ist \( F_{\theta_{1}}(z) \leq c F_{\theta_{0}}(z) \). Ein analoges Argument auf der rechten Seite liefert \( c\left(1-F_{\theta_{0}}(z)\right) \leq \) \( 1-F_{\theta_{1}}(z) \). Zusammen ist
\( \frac{F_{\theta_{1}}(z)}{F_{\theta_{0}}(z)} \leq c \leq \frac{1-F_{\theta_{1}}(z)}{1-F_{\theta_{0}}(z)} . \)
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir \( F_{\theta_{1}}(z) \leq F_{\theta_{0}}(z) \).

Problem/Ansatz:

Hallo, bei diesem Satz haben sich bei mir einige Fragen angehäuft.

1. ist die Likelihood Funktion gerade die Verteilungsfunktion unter theta_1 bzw. theta_0 bis zur Stelle x?

2. Müsste der Likelihhod Quotient nicht auf (-unendlich,z] definiert sein statt (unendlich,z]?

3. Wie kann eine Verteilungsfunktion monoton fallend sein, wie es hier der Fall ist? Die Verteilungsfunktion gibt doch die Summe der Wahrscheinlichkeiten an, d.h. sie ist monoton

4. Warum folgt aus F_theta1(z)<=F_theta0(z) die Aussage?

Ich hoffe mir kann hier wer helfen :)

Answer 1

Eine übliche Definition einer Likelihood-Funktion \(L(\theta , x)\) ist$$L(\theta , x) = f_{\theta}(x), $$wobei \(f_{\theta}(x)\) eine Dichte ist, also$$F_\theta(z) = P_\theta ((-\infty , z]) = \int_{-\infty}^zf_\theta(x)\; dx$$

Jetzt fehlt etwas Kontext zu deinem Satz, denn dein angegebener Beweis tut so, als wäre der Likelihood-Quotient für alle \(x\in \mathbb R\) definiert, obwohl in der Voraussetzung \(\Omega \subset \mathbb R\) steht.

Mit obiger Definition der Likelihood-Funktion ist der Likelihood-Quotient zunächst nur für diejenigen \(x \in \Omega\) sauber definiert, für die \(f_\theta(x) >0\) gilt.

Man kann aber den Beweis des Satzes über Grenzwertbetrachtungen bzgl. \(F_\theta\) am Rand von \( \Omega\) auf ganz \(\mathbb R\) ausdehnen.

Die Verteilungsfunktionen sind natürlich monoton wachsend in \(x\) aber für festes \(x\) fallend in \(\theta\). Das steht auch im Satz. Also genauer lesen bitte.

Die Aussage \(F_{\theta_1}(z) \leq F_{\theta_0}(z)\) folgt, indem du Zettel und Stift in die Hand nimmst, und die Ungleichung

$$\frac{F_{\theta_1}(z)}{F_{\theta_0}(z)} \leq \frac{1-F_{\theta_1}(z)}{1-F_{\theta_0}(z)}$$

nennerfrei machst, indem du mit \(F_{\theta_0}(z)\cdot (1-F_{\theta_0}(z))\) multiplizierst, ausmultiplizierst und vereinfachst.

Hier noch ein konkretes Beispiel für den Satz:

$$\Theta = (1,\infty),\:\: \Omega = (0,1)$$$$f_\theta(x) = \theta\cdot x^{\theta -1} \text{ für } x\in (0,1),\: f_\theta(x) = 0 \text{ sonst }$$

Einfach mal die Graphen von \(f_\theta\) und \(F_\theta\) anschauen.