Aufgabe:
Eine Münze n-mal nacheinander geworfen. Die jeweiligen möglichen Ergebnisse sind Zahl oder Wappen.
a) Geben Sie ein sinnvolles Modell für das gesamte Wurfexperiment an,
b) Betrachten Sie das Ergebnis, dass der erste und der letzte Wurf verschiedene Ergebnisse liefern. Beschreiben Sie das Ereignis im Rahmen Ihres Modells und bestimmen Sie seine Wahrscheinlichkeit.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass mindestens einmal Zahl auftritt.
d) Wie groß ist für n=5 die Wahrscheinlichkeit, dass öfter Zahl als Wappen auftritt?
e) Die Münze werde so oft geworfen, bis Zahl auftritt, aber nicht öfter als 5 mal. Wieviele Versuche sind im Schnitt zu erwarten.
Problem/Ansatz
a) Bernoulli Experiment mit den zwei Ausgängen 1 und 0, jeweils P=1/2. Folgende Aufgaben können teilweise mit der Binomial-Verteilung gelöst werden. Basiert ja auf Bernoulli.
b) Mein Gedanke ist, dass die Würfe zwischen erstem und letztem Wurf irrelevant für diese Rechnung sind, da es nur um den ersten und letzten geht und die unabhängig voneinander sind. Daher dachte ich einfach P=1/2.
c) P(mindestens einmal Zahl) = 1 - P(nur Wappen) = 1 - (1/2 * 1/2 * ... n mal ) = 1 - (1/2)^n
d) Binomial-Verteilung:
P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = ( C(5,3)*(1/2)^3*(1/2)^2 ) + ( C(5,4)*(1/2)^4*(1/2)^1 ) + ( C(5,4)*(1/2)^4*(1/2)^0 )
= 5/16 + 5/32 + 1/32 = 1/2
e) Geometrische Verteilung , [ (1/2)^0 * (1/2) + (1/2)^1 * (1/2) + (1/2)^2 * (1/2) + (1/2)^3 * (1/2) + (1/2)^4 * (1/2) ] / 5
= ( 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32) / 5 = 0,19375 ..
Sieht das alles richtig aus? Bei der ein oder anderen Aufgabe bin ich mir etwas unsicher mit der Rechnung und dem Ergebnis
