Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten ihres Schnittpunktes an.

a) \( \\ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) ; \\ h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
b)  \( \\ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-5 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) ; \\ h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}4 \\ -6 \\ 2\end{array}\right) \)
c)  \( \\g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) ; \\ h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}17 \\ -38 \\ 24\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-5 \\ 15 \\ -10\end{array}\right) \)
d) \(\\ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-5 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ 0 \\ -4\end{array}\right) ;\\  h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-10 \\ 11 \\ 5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Man soll es mit diesem Weg bestimmen.

Comments

Man soll es mit diesem Weg bestimmen.

Und? Hast du es versucht? Es wäre ja schon ein Fortschritt, von Beginn an zwei der vier Lagemöglichkeiten ausschließen zu können.

Answer 1

b) und c) Die Richtungsvektoren sind linear abhängig.

https://de.serlo.org/mathe/1665/lineare-un-abh%C3%A4ngigkeit

Answer 2

Hier nur meine Kontroll-Lösung

a) schneidend
b) parallel
c) identisch
d) schneidend

Comments

Danke für die Antwort, aber prüft man dann g und h Einzelt auf die Abhängigkeit , oder wie macht man es mit 4 Vektoren?

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Wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind, dann machst du eine Punktprobe und

wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, prüfst du auf einen Schnittpunkt.

Also genau wie es das Baumdiagramm vorgibt. Bei Serlo auch zu finden unter

https://de.serlo.org/mathe/1419/lagebeziehung-zweier-geraden

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\( \begin{pmatrix} -1\\3\\2\end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -2\\1\\7 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) /− \( \begin{pmatrix} -2\\1\\7 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-5 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \) = s * \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) ↔ 1 + 2r = 1s und 2 +1r = 0s und -5 + -1r =1s

Aber wie geht es weiter?

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Danke für die Antwort, aber prüft man dann g und h Einzelt auf die Abhängigkeit , oder wie macht man es mit 4 Vektoren?

Es geht an dieser Stelle nicht um alle 4 Vektoren. Es geht um die beiden RICHTUNGSvektoren!

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Ist der schnittpunkt bei a) dann ( -5 | 1 | 4 )?

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Was fragst du?  ( -5 | 1 | 4 ) ist sicher ein Punkt von g, denn man erhält ihn mit r=-2.

( -5 | 1 | 4 ) ist auch ein Punkt von h, denn man erhält ihn mit s=-3.

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Aufgabe a)

Die Richtungsvektoren (die hinter r bzw. s stehen) sind hier

\(\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\ und kein Vielfaches voneinander, also linear unabhängig.

Gleichsetzen ergibt

-1 + 2r = -2 +s

3 + r = 1

2 - r = 7 + s

Zum besseren Überblick bringe ich immer alles mit Buchstaben auf die linke und Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung.

2r - s = -1

r = -2

-r - s = 5

Hier ist es jetzt einfach, du setzt in die 1. und 3. Gleichung -2 für r ein und erhältst

s = -3

Nun setzt du in eine der Gleichungen dein Ergebnis ein und erhältst damit den von dir genannten Schnittpunkt.

Ein einfaches "Ja" von meiner Seite hätte also auch gereicht ;-)

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Es geht darum das man auch den Schnittpunkt angeben soll, daher hab ich ihn angegeben.

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Danke Silvia

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Es geht darum das man auch den Schnittpunkt angeben soll, daher hab ich ihn angegeben.

Das kannst du dann ja auch noch für d) probieren. Aber ich denke, das schaffst du.