Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

Question

Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunkts S.

g: \( \vec{x} \) = t* \( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) ; h:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \) +t*\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \)

Comments

bei g fehlt doch ein Stützvektor (Aufpunkt), oder nicht?

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Nein steht genau so im Buch ,das ist nur bei der Aufgabe so. Bei den anderen 3 weiteren ähnlichen Aufgaben gibt es einen Stützvektor bei allen außer bei der Aufgabe jetzt ,das ist komisch...

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Dann liegt er im Ursprung, also lautet \(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\). Dann lässt man ihn üblicherweise weg.

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Das ist mir bewusst, ich wollte nur wissen, ob er was vergessen hat!

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Aber es kann nicht sein, dass die beiden Parameter dieselben sind.

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Hab es eher für ihn als für dich geschrieben @racine

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Ich kann doch garnicht denn Schnittpunkt berechnen, wenn in beiden Gerade die Variable t steht oder?

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s. Antwort von racine unten. Er hat ein t in ein r umgewandelt.

Answer 1

Wenn kein Stützvektor gegeben ist, geht man vom Koordinantenursprung aus (kann deswegen weggelassen werden):$$g:\vec{x}=t\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}$$ Nun "gleichsetzen. Daraus stellst du das Gleichungssystem auf:

I. \(2t=2 \quad  \Longrightarrow t=1\)

II. \(0=3+r \quad \Longrightarrow r=-3\)

II. \(t=4-r\)  → geht ja gar nicht auf?

Das heißt, dass es keinen Schnittpunkt gibt → windschiefe Geraden!

Comments

Wie bist du auf die 3 Gleichungen gekommen beim gleichsetzen ?

z.b 2t verstehe ich aber warum dann = 2 und bei den anderen das selbe kannst du mir das erklären ?

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Ok habs schon rausgefunden

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Hast du also die Variable t ersetzt durch r damit man das LGS lösen kann oder warum?

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Du setzt \(t\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}\) gleich.

Daraus folgerst Du das LGS.

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Hast du also die Variable t ersetzt durch r damit man das LGS lösen kann oder warum?

Ja, zwei mal dieselbe Variable wäre ungünstig gewesen.

Answer 2

Also die beiden OV sind verschieden -> nicht identisch

Die beiden RV sind linear unabhängig -> windschief / Schnittpunkt

Durch Gleichsetzen der beiden Geraden ergibt sich nach Umstellen des Gleichungssystems

\(\left( \begin{array}{cc|c} 1r & 0 & 1  \\ & -1s & 3  \\ & 0s & 6  \\ \end{array} \right)\)

Daraus folgt, dass sie keinen gemeinsamen Punkt besitzen -> Windschief