Wert der Ableitung der Umkehrfunktion im Punkt y0

Question

Wert der Ableitung der Umkehrfunktion von sin(x) im Punkt y0

die Kehrfunktion ist arcsin(x), die Ableitung davon sollte ja 1/sqrt(x^2+1) sein. Wenn ich das =1/3 setze komme ich auf x=sqrt(8).

Ist das richtig und wie verfahre ich ab da um die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Aloha :)

Du hast die falsche Ableitung bestimmt.

Die Umkehrung von \(y=\arcsin(x)\) ist \(x=\sin(y)\).

Damit erhalten wir als Ableitung:$$\arcsin'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\sin(y)}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Für \(x=\frac13\) heißt das:$$\arcsin'\left(\frac13\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac89}}=\sqrt{\frac98}=\frac{3}{\sqrt 8}$$