Aloha :)
Löse zuerst die homogene DGL:$$\left.y'_0(x)-\frac{2x+1}{x^2+x}y_0(x)=0\quad\right|\colon y_0(x)$$$$\left.\frac{y'_0(x)}{y_0(x)}-\frac{2x+1}{x^2+x}=0\quad\right|+\frac{2x+1}{x^2+x}$$$$\left.\frac{y'_0(x)}{y_0(x)}=\frac{2x+1}{x^2+x}\quad\right|\text{Integrieren}$$$$\left.\ln|y_0(x)|=\ln|x^2+x|+C_1\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.e^{\ln(y_0(x))}=e^{\ln|x^2+x|+C_1}\quad\right|\text{vereinfachen}$$$$|y_0(x)|=|x^2+x|\cdot C_2\quad;\quad C_2\coloneqq e^{C_1}>0$$Wegen \(x>0\) können die Betragszeichen entfallen:$$\underline{\underline{y_0(x)=C_2\cdot(x^2+x)}}$$
Damit haben wir zwar eine Lösung des homogenen Systems, wir brauchen aber noch eine Lösung der inhomogenen DGL. Dazu variieren wir die Integrationskonstante \(C_2=C_2(x)\). Dann lautet die Ableitung nach der Produktregel:$$y'(x)=C'_2(x)\cdot(x^2+x)+C_2(x)\cdot(2x+1)$$
Das setzen wir in die inhomogne DGL ein:$$\left.C'_2(x)\cdot(x^2+x)+C_2(x)\cdot(2x+1)-\frac{2x+1}{x^2+x}C_2(x)\cdot(x^2+x)=x^2\quad\right|\text{vereinfachen}$$$$\left.C'_2(x)\cdot(x^2+x)=x^2\quad\right|\colon(x^2+x)$$$$\left.C'_2(x)=\frac{x^2}{x^2+x}=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\quad\right|\text{integrieren}$$$$C_2(x)=x-\ln(x+1)+C_3$$Wir setzen diese \(C_2(x)\) in die homogene Lösung ein und finden damit die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:$$\underline{\underline{y(x)=\left(x-\ln(x+1)+C_3\right)\cdot(x^2+x)}}$$
Für eine spzezielle Lösung \(y_s(x)\) mit der Anfangsbedingung \(y_s(1)=0\) müssen wir die Integrationskonstante \(C_3\) entsprechend bestimmen:$$0\stackrel!=y_s(1)=(1-\ln(2)+C_3)\cdot2\implies C_3=\ln(2)-1$$Das eingesetzt in die inhomogene Lösung liefert:$$y_s(x)=\left(x-\ln(x+1)+\ln(2)-1\right)\cdot(x^2+x)$$$$\underline{\underline{y_s(x)=\left(x-1+\ln\left(\frac{2}{x+1}\right)\right)\cdot(x^2+x)}}$$
