Zeigen Sie anhand der DGL, dass die Lösung y(x) des Anfangswertproblems an der Stelle x₀=0 ein lokales Maximum besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie anhand der DGL, dass die Lösung y(x) des Anfangswertproblems an der Stelle x₀=0 ein lokales Maximum besitzt.

Die DGL lautet:

y‘=—2(xy+xy^2)

Problem Ansatz:

Kann ich diese Lösen indem ich die DGL nochmals ableite und wenn ja wie geht das

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Das kann man allein aus den Angaben in der Aufgabenstellung nicht folgern. Eine mögliche Lösung der DGL ist z.B. \(y(x)=0\), die offenbar kein lokales Extremum besitzt.

Wenn ein Anfangswert \(y(0)\) gegeben wäre, könnte man wie folgt argumentieren:

Die Ableitung der Funktion \(y(x)\) verschwindet an der Stelle \(x=0\):$$y'(0)=\left.-2(xy+xy^2)\right|_{x=0}=-2(0\cdot y+0\cdot y^2)=0$$Daher ist die Stelle \(x=0\) ein Kandidat für ein lokales Extremum. Zur Bestimmung der Art des Extremums benötigen wir noch die zweite Ableitung:$$y''(x)=-2(1\cdot y+x\cdot y'+1\cdot y^2+x\cdot2yy')=-2(y+xy'+y^2+2xyy')$$$$y''(0)=-2(y(0)+y^2(0))$$Um nun Aussagen über das Vorzeichen von \(y''(0)\) und damit über die Art des Extremums machen zu können, braucht man den Startwert \(y(0)\).

Comments

Wie genau bildet man denn die zweite Ableitung der DGL ?

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Die erste Ableitung ist ja$$y'(x)=-2(xy+xy^2)$$Für die zweite Ableitung müssen wir hier nochmal mit der Produktregel und Kettenregel ableiten:$$y''(x)=-2(\underbrace{1\cdot y+x\cdot y'}_{=(xy)'}+\underbrace{1\cdot y^2+x\cdot2yy'}_{=(xy^2)'})=-2(y+xy'+y^2+2xyy')$$