Eindeutige Lösung des Anfangswertproblems y'(t)=a(t)y(t)+b(t) zeigen Ableitung

Question

Aufgabe:

zeige, dass y(t)=exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds)y₀+\( \int\limits_{t0}^{t} \) exp(\( \int\limits_{s}^{t} \) a(τ)dτ) b(s)ds

eindeutige Lösung von y'(t)=a(t)y(t)+b(t), wobei y(t₀)=y₀

Problem/Ansatz:

Dass die Lösung eindeutig ist, habe ich bereits gezeigt, ich brauche nur ein wenig Hilfe dabei, zu zeigen, dass das gegebene auch die Lösung der DGL ist.

zuerst habe ich einmal für t t₀ eingesetzt, als Ergebnis erhält man y₀ also so weit alles gut.

Mein nächster Schritt war, y'(t) abzuleiten und dann zu schauen, ob ich auf die Form y'(t)=a(t)y(t)+b(t) komme, denn damit wäre die Aufgabe bereits gezeigt.

Nach dem Ableiten erhalte ich nun jedoch folgendes:

y'(t)=exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds) y₀ a(t) + exp(\( \int\limits_{t}^{t} \) a(τ)dτ) b(t) [exp(\( \int\limits_{s}^{t} \) a(τ)dτ) a(t)b(t)+exp(\( \int\limits_{s}^{t} \) a(τ)dτ)b'(t)]

Und ganz ehrlich, das bringt mich gar nicht weiter. Vielleicht habe ich aber auch falsch abgeleitet. Folgendes könnte ich mir auch noch vorstellen:

y'(t)=exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \)a(s)ds) y₀a(t) + exp(\( \int\limits_{t}^{t} \) a(τ)dτ)b(t)=y(t)a(t)+b(t), aber da hätte ja y(t) die falsche Form oder nicht?

Ich habe dann mal selber aus dem anfangswert die allgemeine DGL hergeleitet. Dabei kam ich auf folgendes:

y(t)=y₀exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds) + exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds) \( \int\limits_{t0}^{t} \)exp(-\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(τ)dτ) b(s)ds

Wenn ich diese Form ableite, komme ich problemlos auf y'(t)=a(t)y(t)+b(t)

Meine Frage lautet nun:

1. Weiß jemand, wie ich die gegebene Form richtig ableite, um auf das Ergebnis zu kommen? Denn ich weiß da nicht weiter.

2. Weiß jemand, wie ich zeige, dass die gegebene Form auch in der Form geschrieben werden kann, die ich selbst hergeleitet habe? Identisch müssen sie ja sein, da es nur eine eindeutige Lösung gibt, aber für mich ist nicht ersichtlich, wie ich die Umformung zeige. Wenn ich wüsste wie die Umformung geht, könnte ich danach mit der Umformung weiterrechnen.

Ich würde mich sehr freuen, wenn wenigstens eine der zwei Fragen beantwortet werden könnte^^

Comments

Hallo

 Edit: sorry, dieser Antwort ist sinnlos, eine bessere weiss ich grade nicht,

 du solltest den Fundamentalsatz  der Integral Rechnung kennen

mit $$F(t)=\int_{a}^{t}g(s)ds \text{  gilt  } F'(t)=g(t)$$ kurz deine Ableitungen sind falsch!

Gruß lul

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Dieser satz ist mir bekannt und so wie ich das sehe, habe ich ihn doch auch angewendet, als ich y'(t)=exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds) a(t) y₀ + exp(\( \int\limits_{t}^{t} \) a(τ)dτ) b(t) herausbekam.

Bloß ist das ja exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds) a(t) y₀ + b(t), was ja dann hier bedueten würde, dass y(t)=exp(\( \int\limits_{t0}^{t} \) a(s)ds) y₀ wäre, was ja nicht der behauptung entspricht.

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siehe mein Korrektur oben. Gruß lul

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Hallo

 in der Behauptung wurde einfach das Minus vor dem Integral im zweiten Teil vergessen, also Druckfehler in der Aufgabe, denn diene Lösung ist richtig.

Gruß lul