Lösung der Anfangswertaufgabe bestimmen y' = -y/x + e^2x, y(1) = 0

Question

Wir sollen die Lösung der Anfangswertaufgabe

y' = -y/x + e^2x, y(1) = 0

bestimmen. Außerdem sollen wir angeben, wie der maximale Definitionsbereich der Lösung lautet.

Answer 1

Hallol,

\( y^{\prime}=-\frac{y}{x}+e^{2 x} \)

\( y^{\prime}+\frac{y}{x}=e^{2 x} \)
\( \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=0 \)
\( \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x} \)
\( \frac{d y}{y}=-\frac{d x}{x} \)

ln|y| = -ln|x| +C

|y| = e^(- ln|x| +C)

|y|=e^(-ln|x| *e^C

y=1/x *± e^C

yh= C1/x

Setze C1=C(x)

yp= C(x)/x

yp' =C'(x)/x -C(x)/x^2

setzte yp und yp' in die DGL ein:

C'(x)= x *e^(2x) -->WICHTIG , das C(x) muß sich kürzen lassen !

C(x)= (e^(2x)/4)* (2x-1) ->partielle Integration



yp= C(x)/x = e^(2x)/4 (2-1/x)

y=yh+yp= C1/x +e^(2x)/2 +e^(2x)/(4x)

Einsetzen der AWB : y(1)=0

0=C1 +e^2/2 -e^2/4

C1= e^2/4 -e^2/2

--->

Lösung:

y= e^2/(4x) -e^2/(2x) +e^(2x)/2 -e^(2x)/(4x)

\( y=\dfrac{2 x e^{2 x}-e^{2 x}-e^{2}}{4 x} \)

-------->

maximale Definitionsbereich der Lösung: x∈ R , x≠0

Comments

Hallo altes Raubtier,

\( y=\frac{2 x e^{2 x}-e^{2 x}-e^{2}}{4 x} \)

Tipp:  Benutze \dfrac  statt  \frac

das erscheint dann besser lesbar:

\( y=\dfrac{2 x e^{2 x}-e^{2 x}-e^{2}}{4 x} \)

Gruß Wolfgang

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Grosse Katze meldet sich zurück:

einfach DANKE !! :)