Aloha :)
$$\left.y'=-\frac{x}{y}\quad\right.$$$$\left.\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad\right|\;\cdot y$$$$\left.y\frac{dy}{dx}=-x\quad\right|\;\cdot dx$$$$\left.y\,dy=-x\,dx\quad\right|\;\int\cdots$$$$\left.\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2+c\quad\right.$$Die Randbedingung \(y(0)=1\) liefert:$$\frac{1}{2}\cdot1^2=-\frac{1}{2}\cdot0^2+c\quad\Leftrightarrow\quad c=\frac{1}{2}$$Damit haben wir als Lösung:
$$\left.\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.y^2=-x^2+1\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.y=\pm\sqrt{1-x^2}\quad\right.$$Theoretisch stehen 2 Lösungen zur Verfügung, eine positive und eine negative. Wegen der Randbedingung \(y(0)=1>0\) kommt jedoch nur die positive Lösung in Betracht.$$y=\sqrt{1-x^2}$$Der maximale Definitionsbereich ist \(D=[-1;1]\).
