Kann ein Polynom auch ein Quotient sein?

Question

Ist 1/x ein Polynom? oder \( \frac{x^2-x-1}{x} \) ?

Answer 1

Also die eigentliche Frage war: berechnen Sie den ggt(f(x),g(x)) und finden sie Polynome a(x), b(x), sodass a(x)f(x)+b(x)g(x)=ggt(f(x),g(x)) ist.

f(x) = x^5 - 2·x^4 - x^3 + x^2 + x + 2
g(x) = x^3 - x^2 - x - 2

Der erweiterte euklidische Algorithmus funktioniert hier ebenso wie bei der verlinkten Ähnlichen Aufgabe.

Mit dem erweiterten euklidische Algorithmus stellst du den ggt als Kombination der ursprünglichen Polynome dar.

Ich komme dabei auf

(x - 2) = (-x - 1)·(x^5 - 2·x^4 - x^3 + x^2 + x + 2) + (x^3 - 2·x)·(x^3 - x^2 - x - 2)

Hier kannst du die Polynome a(x) und b(x) ablesen.

Comments

Danke. :)

Darf ich einmal fragen, wie du darauf gekommen bist? Ich weiß einfach noch nicht, wie ich da vorgehen muss :(. Bin darin leider noch echt schlecht. Blöde nur, das ich am Freitag ne Klausur schreibe und das dran kommt. Deshalb wäre ich dir froh, wenn du mir mal zeigst, wie man da vor geht. Ich finde dazu im internet leider nicht wirklich was.

Ich hoffe ich beanspruche deine Zeit nicht zu sehr.

Lg Leon

Answer 2

Polynome sind von der Form a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a₀ für reelle Zahlen a₀ bis a_n.  

Comments

reelle Zahlen a_0 bis a_n.

Die Koeffizienten können aus jedem x-beliebigen Ring sein.

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Also kann ich das so machen wie ich es oben geschreieben habe? da steht ja quasi dann im exponent 2,1,0,-1

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n muss > 0 sein.

Bei deinem Term oben hast du x^{-1}.

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Nein, n steht für eine natürliche Zahl. (Hätte ich erwähnen sollen).

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Beantwortet das schon die Frage?

Was ist z.B. mit

y = (x^2 - 1) * (x - 1)

oder

y = (x^2 - 1) / (x - 1)

Beide hätten z.B. nicht die geforderte Form.

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Also die eigentliche Frage war: berechnen Sie den ggt(f(x),g(x)) und finden sie Polynome a(x),b(x), sodass a(x)f(x)+b(x)g(x)=ggt(f(x),g(x)) ist.

f(x)= x^5-2x^4-x^3+x^2+x+2

G(x)= x^3-x^2-x-2

Der ggt = x-2. Das war einfach. Jetzt aber zu diesem doofen Lemma von Bezout.

Ich muss ja mein ggt dann darstellen aus Polynom(x^5-2x^4-x^3+x^2+x+2) + Polynom (x^3-x^2-x-2)

Mein Problem ist, dass bei meiner Rechnung nie der Rest x-2 stehen bleibt. Nur ganz am Anfang, wenn ich f(x)÷g(x) gerechnet habe bleibt der Rest x^2-2x stehen. Und da hab ich mir dann halt mein ggt zu x(x-2) gemacht und die andere Seite durch x gekürzt. Aber dann erhalte ich den ggt nur für die oben genannten "Brüche". Weis echt nicht mehr weiter

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Dann existiert die Frage schon unter

https://www.mathelounge.de/746483

Bitte dann dort in der Antwort nachfragen, wenn du sie nicht verstehst.

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Ja gut, das sind ja aber nicht meine Polynome