Frage zum Quotient zweier Polynome (Konvergenzverhalten)

Question

Hallo Forum Mitglieder,

ich habe da eine kleine Frage zu folgender Aufgabe:

 

Intuitiv sind mir ja die ganzen Aussagen völlig klar, doch wie soll man diese denn nun formal beweisen. Eigentlich könnte ich ja in (a) einfach sowohl im Nenner als auch im Zähler n^q ausklammern und dann kürzen. Übrig bleiben dann ja nur noch eine Summe von Nullfolgen, oder? Den gleichen Trick könnte ich auch bei b verwenden, da ja der Leitskoeeffizient als absoluter Betrag immer übrig bleibt. Auch (c) ist mir völlig klar nur, wie zeigt man dies?

LG

Orbi

Answer 1

Dann mach es doch so.
Und bei c klappt das auch. Wenn du n^q ausklammerst und kürzt , bleibt im Zähler
ein Summand  von der Art  a_p*n ^p-q  und wegen p>q ist das ein x^n mit n>0
Also heißt das für den gesamten Bruch nach dem Ausklammern und kürzen:
Der Nenner geht gegen b_q und der Zähler ist unbeschränkt, also insgesamt
unbeschränkt und damit divergent.

Comments

Reicht eine solche Argumentation wirklich aus? Ich dachte es geht viel komplizierter...

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Du kannst es ja noch was formalisieren, besonders schön bei b)

wegen p=q wäre es ja

summe k=o bis p a_kn^k      /    summe k=o bis p b_kn^k 

mit n^p kürzen gibt

=   summe k=o bis p a_kn^k-p      /    summe k=o bis p b_kn^k-p

Die Summanden mit  n^k-p  haben alle den Grenzwert 0 und der

Jeweils letzte Summand hat den Grenzwert a_p*1  bzw. b_p*1 

und damit liefert die Anwendung der Grenzwertsätze den

Gesamtgrenzwert  a_p / b_p      q.e.d.