Aloha :)
Die Grenzwertsätze gelten nur, wenn die Einzelgrenzwerte existieren:
$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)}_{=\text{muss existieren}}\pm\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}(b_n)}_{=\text{muss existieren}}$$
Bei dir tauchen folgende Grenzwerte auf:$$a_n=\cdots=\underbrace{\frac{n^2-\frac{2}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}}_{\to\infty}+\underbrace{\frac{3-n^2}{1+\frac{1}{n^3}}}_{\to-\infty}$$Die Grenzwerte beider Teilfogen existieren nicht, daher kannst du die obere Regel für Summe und Differenz von Grenzwerten nicht anwenden.
Ein Weg wäre hier, die beiden Brüche zusammenzufassen:$$\small a_n=\frac{n^4-2}{n^2+4}+\frac{n^3(3-n^2)}{n^3+1}=\frac{n^4-2}{\red{n^2+4}}+\frac{3n^3-n^5}{\green{n^3+1}}=\frac{(n^4-2)\green{(n^3+1)}+(3n^3-n^5)\red{(n^2+4)}}{\red{(n^2+4)}\green{(n^3+1)}}$$$$\small\phantom{a_n}=\frac{(n^7-2n^3+n^4-2)+(3n^5-n^7+12n^3-4n^5)}{n^5+4n^3+n^2+4}=\frac{-n^5+n^4+10n^3-2}{n^5+4n^3+n^2+4}$$$$\small\phantom{a_n}=\frac{\pink{\frac{1}{n^5}}\left(-n^5+n^4+10n^3-2\right)}{\pink{\frac{1}{n^5}}\left(n^5+4n^3+n^2+4\right)}=\frac{-1+\frac1n+\frac{10}{n^2}-\frac{2}{n^5}}{1+\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{4}{n^5}}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{-1+0+0-0}{1+0+0+0}=-1$$
