f```(0) = 0, Wendepunkt nachweisen (Satz von Taylor)

Question

wenn man bspw. eine Kurvendiskussion an der Funktion f(x)=x^5 -2 durchführt und die Wendestellen ermitteln will, dann stößt man auf das "Problem", dass f3(x)=0 ist. Rein theoretisch könnte man simpler Weise die Vorzeichen Probe in der 1. Ableitung benutzen, aber da man ohne Darstellung im CAS-Rechner prinzipiell erstmal nicht weiß, ob z.B. im Intervall -1;1 was passiert, ist diese Methode nicht allgemeingültig, besonders nicht bei strengen Wendepunkten. Nun kann man bei dieser Funktion, wenn man denn die Hochpunkte bereits berechnet hat, aufgrund des 3. Grades und der resultierenden Symmetrie folgern, dass es sich um einen Wendepunkt handeln muss. Das ist aber ebenfalls nicht auf unsymmetrische Funktion übertragbar.

Durch forschen im Internet bin ich auf den Satz von Taylor gestoßen, aus dem anscheinend folgert, dass wenn die x-te Ableitung eben ungleich 0 ist und dabei eine ungerade Anzahl hat, ein Wendepunkt besteht. Dem kann ich aber nicht folgern.

Daher meine Frage, ob jemand erläutern könnte, warum das denn so ist, da die Beiträge dazu im Internet meist zu komplex sind oder nicht wirklich erläutern, warum es denn so ist.

Vielleicht hat jemand noch eine andere Idee, wie man es schlussfolgern kann.

Vielen Dank! :)

Comments

da man ohne Darstellung im CAS-Rechner prinzipiell erstmal nicht weiß, ob z.B. im Intervall -1;1 was passiert

Ist \(f(x)=x^{5}-2\), dann ist \(f''(x) = 20x^3\).

Es ist

        \(20x^3 = 0\)

genau dann wenn

        \(x = 0\)

ist.

Es ist \(f''(-1) = 20\cdot (-1)^3 = -20 < 0\).

Angenommen es gäbe im Intervall \((-1,0)\) ein \(x_0\) mit \(f''(x_0) > 0\). Weil \(f''\) stetig ist, müsste es dann laut Zwischenwertsatz auch ein \(x_1\) im Intervall \((-1, x_0)\) geben, so dass \(f''(x_1) = 0\) ist. Ein solches \(x_1\) gibt es aber nicht, weil \(0\) die einzige Lösung der Gleichung \(f''(x) = 0\) ist.

Also ist \(f''(x) < 0\) im ganzen Intervall \([-1, 0)\).

Analog dazu begründet man, dass \(f''(x) > 0\) im ganzen Intervall \((0, 1]\) ist.

Also hat \(f''\) bei \(0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Also hat \(f\) bei \(0\) eine Wendestelle.

Answer 1

Bei dem Beispiel ist \(f''(x)=20x^3\) und \(f''(0)=0\). Weitere Ableitungen:

$$f^{(3)}(x)=60x^2, \quad f^{(4)}(x)=120x, \quad f^{(5)}(x)=120$$

Also hat die erste Ableitung, wo x=0 keine Nullstelle ist, die ungerade Ordnung 5. Nach dem von FS angedeuteten Kriterium liegt bei x=0 eine Wendestelle vor - was in der Sache durch O schon geklärt ist.

Zur Begründung dieses Kriteriums (grob): Wenn f beliebig oft differenzierbar ist und durch seine Taylor-Reihe im interessierenden Punkt a dargestellt wird, also

$$f(x):=\sum_{k=0}^{\infty}c_k(x-a)^k, \text{  mit }c_k:=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$$

Dann sei also

$$c_2=0, \ldots c_{2m}=0,c_{2m+1} \neq 0$$

Es folgt:

$$f''(x)=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)c_k(x-a)^{k-2}=\sum_{k=2m+1}^{\infty}k(k-1)c_k(x-a)^{k-2} \\ \quad =(x-a)^{2m-1}\left[(2m+1)(2m)c_{2m+1}+\sum_{k=2m+2}^{\infty}k(k-1)c_k(x-a)^{k-2m-1}\right]$$

Die unendliche Reihe definiert eine stetige Funktion, die für a gegen 0 gegen 0 geht, so dass also das Verhalten von \(f''(x)\) in der Nähe von a durch

$$(x-a)^{2m-1}(2m+1)(2m)c_{2m+1}$$

bestimmt wird und daher sein Vorzeichen wechselt.