Question

Was habe ich hier beim Beweisen falsch gemacht?

Text erkannt:

b) \( \begin{aligned} \sin x \cdot \sin y & =\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y)) \\ & =\frac{1}{2} \cdot((\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y)-(\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y)) \\ & =\frac{1}{2} \cdot((-\sin x \cdot \sin y)-(\sin x \cdot \sin y))\end{aligned} \)

Das Minuszeichen stört mich derbe

Answer 1

Das Additionstheorem für \(\cos\) lautet korrekt: \(\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\).

Wende zum einen das direkt in dieser Form an, zum anderen als \(\cos (x+(-y))\) für die Differenz.

Zum Beweis fang mit einer(!) Seite an, hier also:

Beweis: \(\frac12(\cos(x-y)-\cos(x+y)) =...\)

und forme dann weiter um auf der linken Seite der Beh. zu landen. Rechne nicht direkt hinter der Beh. weiter. Schreibe vor die jeweiligen Teile "Beh." bzw. "Beweis" (Du willst ja später auch noch verstehen, was Du da gemacht hast).

Comments

Danke für die Antwort. Jetzt sehe ich auch meinen Fehler und zwar habe ich einfach das Additionstheorem vom Cosinus falsch abgeschrieben. Beim Sinus ist die Reihenfolge beim Plus und Minus gleich.
Beim Cosinus allerdings wird, wenn da cos(x+y) steht, in der Mitte also bei cosx cosy - sinx sin y ein Minus stehen und bei cos(x-y) ein Plus.

Beim Sinus - wie gesagt - steht auch in der Mitte ein Plus, wenn da sin(x+y) steht. Das hatte ich wohl übersehen.

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Ja genau, die Additionstheoreme für sin und cos sind etwas unterschiedlich.

Answer 2

Sinus ist eine ungerade Funktion.

Wenn du zwei ungerade Funktionen miteinander multiplizierst, dann ist das Ergebnis eine gerade Funktion.

Deshalb ist \(\sin x\cdot \sin y = -\sin x\cdot \sin y\) für alle \(x,y\in\mathbb{R}\).

Comments

Ich soll beweisen, dass der linke Ausdruck vor dem Gleichheitszeichen das gleiche wie die rechte Seite ist.

Dafür benutze ich die Additionstheoreme.

Ich weiß nicht, inwiefern deine Antwort mir da weiterhelfen soll

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der linke Ausdruck vor dem Gleichheitszeichen

In deiner Frage und meiner Antwort gibt es zusammengenommen vier Gleichhetiszeichen.

Ich weiß nicht welches Gleichheitszeichen du meinst.

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Deshalb ist \(\sin x\cdot \sin y = -\sin x\cdot \sin y\) für alle \(x,y\in\mathbb{R}\).

Das ist Unfug.

Term = -Term

gilt nur, wenn Term=0 gilt.

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Was habe ich denn da veranstalltet? War ich da besoffen oder was?

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Wer ist denn bitte schön auf die Idee gekommen, mir für diese Antwort einen Pluspunkt zu geben?

Answer 3

Aloha :)

Ich vermute, du sollst zeigen, dass folgende Formel gilt:$$\sin x\cdot\sin y=\frac12\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$$

Bei solchen Gleichungen ist es oft einfacher, von der "komplizierteren" Seite aus zu starten und diese in die "einfachere" Seite umzuwandeln. Daher verwenden wir das Additionstheorem für den Cosinus$$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$$und begeinnen mit der rechten Seite:

$$\phantom=\frac12\left(\red{\cos(x-y)}-\green{\cos(x+y)}\right)$$$$=\frac12\left(\left(\red{\cos x\cos y+\sin x\sin y}\right)-\left(\green{\cos x\cos y-\sin x\sin y}\right)\right)$$$$=\frac12\left(\left(\red{\cancel{\cos x\cos y}+\sin x\sin y}\right)-\left(\green{\cancel{\cos x\cos y}-\sin x\sin y}\right)\right)$$$$=\frac12\left(\red{\sin x\sin y}-\left(\green{-\sin x\sin y}\right)\right)$$$$=\frac12\left(2\sin x\sin y\right)$$$$=\sin x\sin y\quad\checkmark$$