Das Additionstheorem für \(\cos\) lautet korrekt: \(\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\).
Wende zum einen das direkt in dieser Form an, zum anderen als \(\cos (x+(-y))\) für die Differenz.
Zum Beweis fang mit einer(!) Seite an, hier also:
Beweis: \(\frac12(\cos(x-y)-\cos(x+y)) =...\)
und forme dann weiter um auf der linken Seite der Beh. zu landen. Rechne nicht direkt hinter der Beh. weiter. Schreibe vor die jeweiligen Teile "Beh." bzw. "Beweis" (Du willst ja später auch noch verstehen, was Du da gemacht hast).