Ebenengleichung x+2z = 2 in parameterform umwandeln

Question

Aufgabe:

Ebenengleichung x+2z = 2 in parameterform umwandeln

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie ich diese Umwandlung durchführe, wenn z.B. y = 0 ist

Normalerweise habe ich:

Punkt 1: x = y = 0 eingesetzt und berechnet

Punkt2 : y = z = 0 eingesetzt und berechnet

Punkt 3: x = z = 0 eingesetzt und berechnet

Hier funktioniert das leider nicht

Das Video von Daniel Jung hat mich leider auch nicht weiter gebracht, da checke ich selbst mit Erklärung nicht, wie er auf die Spurpunkte im Video gekommen ist.

https://www.youtube.com/watch?v=R3r1e40IjUk

Wäre über Hilfe sehr Dankbar :D

Comments

Der ungepflegte Kerl in dem Video hat die Spurpunkte nicht berechnet, sondern sich nur irgendwelche Zahlen dafür ausgedacht. Das sieht man das die ausgedachten Punkte nicht auf der Beispielebene liegen. Also, wenn das für die Zuseher nicht maximal verwirrend ist. Nicht jeder liest darunter die Beiträge, in denen das auch schon kritisiert worden war.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Ebenengleichung \(x+2z=2\) nach \(x\) umstellst$$\pink{x=2-2z}$$kannst du alle Punkte der Ebene sofort angeben:$$\begin{pmatrix}\pink x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{2-2z}\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Comments

Beste Antwort ...

---

Wieso wurde diese Methode in meinen Studienheften mit keinem Wort erwähnt? :D

Vielen Dank!

Answer 2

Du hast sicher die beiden Spurpunkte (2 | 0 | 0) sowie (0 | 0 | 1) vollig berechnet. Da jetzt y in der Gleichung nicht vorkommt kannst du jetzt in deinen Punkten einfach noch für y eine Zahl ungleich 0 reinschreiben. (2 | 1 | 0) sollte doch ebenso die Koordinatengleichung erfüllen. Und damit hast du dann drei Punkte und kannst die Parameterform aufstellen.

$$\overrightarrow x = \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Comments

vielen Dank für deine Antwort!

ja, ich war tatsächlich maximal verwirrt wegen den erfundenen Spurpunkten von Daniel Jung :D vlt wollte er mich so in sein Mathe Forum locken

Answer 3

Hallo,

Parameterformen sind nicht eindeutig, daer kann es verschiedene richtige Antworten geben.

Du kannst z. B. zwei linear unabhängige Richtungsvektoren u suchen, die orthogonal zum Normalenvektor n=[1;0;2] verlaufen.

n•u=0

u₁ + 2u₃=0

Z.B. u=[-2; 0; 1] oder u=[-2; 1 ; 1].

Nun brauchst du noch einen Ortsvektor, der die Ebenengleichung erfüllt.

x+2z=2

Z.B. [0;0;1]

--> E: x=[0;0;1]+r•[-2;0;1]+s•[-2;1;1]

:-)

Comments

[0;0;2] erfüllt die Koordinatengleichung nicht.

---

Danke für den Hinweis. Jetzt müsste es stimmen.

Answer 4

Hallo,

schau dir mal dieses Video von Herrn Jung an.

Wenn ich für x = 1 und y = 2 einsetze, komme ich auf \(P(1\mid2\mid0,5)\) und die Spurpunkte \(S_1(2\mid0\mid0)\quad \text{und}\quad S_3(0\mid0\mid1)\)

Gruß, Silvia

Comments

wwie ich auf P komme habe ich verstanden, aber wie soll man in dem Beispiel von Hernn Jung auf S1 und S3 kommen? Das wurde im Video auch nicht erklärt

---

bzw schreibt er selbst in den Kommentaren " Hab hier die Spurpunkte ausgedacht:) Deine sind aufs Beispiel angewendet korrekt berechnet... "

---

Dazu gibt es dieses Video.

Answer 5

Du brauchst nicht unbedingt die Spurpunkte. Du brauchst 3 Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen.

Die Gleichung x+2z=2  wird z.B. von folgenden Punkten erfüllt:

(-4|0|3), (-2|0|2), (0|0|1), (2|0|0) ...

Diese Punkte liegen allerdings alle auf einer Geraden. Zwei von diesen Punkten kannst du dir beliebig aussuchen.

Die Punkte (-4|1|3), (-2|1|2), (0|1|1), (2|1|0)  erfüllen AUCH die Ebenengleichung, ohne auf der Gerade der erstgenannten Punkte zu liegen.

Wähle dir auch noch einen der letztgenannten Punkte, und du hast insgesamt 3 Punkte, die die Ebene bestimmen.