Aloha :)
Die Ebenengleichung lautet:$$-x_1+3x_2-4x_3=12$$Diese stellst du nach einer Koordinate um. Am einfachsten ist hier die Umstellung nach \(x_1\), da wir dann ohne Brüche weiterrechnen können:$$x_1=3x_2-4x_3-12$$Diese Gleichung besagt, dass \(x_2\) und \(x_3\) völlig beliebig sein können, aber dann \(x_1\) aus \(x_2\) und \(x_3\) berechnet werden muss. Ein Punkt der Ebene hat daher die Koordinaten:$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}3x_2-4x_3-12\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3x_2\\x_2\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4x_3\\0\\x_3\end{array}\right)$$$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}-12\\0\\0\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}-4\\0\\1\end{array}\right)\quad;\quad x_2,x_3\in\mathbb{R}$$Beachte, dass eine Ebenengleichung in ihrer Parameterdarstellung nicht eindeutig ist. Man kann z.B. auch 3 beliebige Punkte wählen, die die Koordinatengleichung \(-x_1+3x_2-4_3=12\) erfüllen, und mit diesen 3 Punkten dann eine Parameterform der Ebenengleichung bilden. Die Vektoren in der Parametergleichung hängen dann natürlich von den Punkten ab, die man gewählt hat.
