Berechnen Sie die Koordinaten von Q.

Question

Text erkannt:

Aufgabe:
Ein Berg wird von der Südseite zu seiner Nordseite durch einen Autotunnel unterquert. Der Verlauf des Autotunnels kann als Teil einer Geraden modelliert werden. Die \( x-y \)-Ebene befindet sich auf der Höhe des Meeresspiegels und es gilt: 1 LE entspricht \( 100 \mathrm{~m} \).
Auf der Südseite beginnet der Tunnel im Punkt \( S(0|40| 6) \) und endet auf der Nordseite im Punkt \( \mathrm{N}(30|65| 7) \).
a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, mit deren Hilfe man der Verlauf des Autotunnels modellieren kann. Berechnen Sie die Länge des Autotunnels.
Ein Bahntunnel verläuft geradlinig zwischen den Punkten \( A(20|60| 6,5) \) und \( B(60|65| 6) \).
b) Zeigen Sie, dass der Bahntunnel den Autotunnel nicht kreuzt.
Hinweis: Die Querschnittsfläche der Tunnel können vernachlässigt werden.
c) Die Lok eines \( 700 \mathrm{~m} \) langen Güterzuges fährt 9:10 Uhr in den Bahntunnel hinein. Der letzte Wagen ist um 9:13 Uhr vollständig aus dem Tunnel Bahntunnel herausgefahren. Der Güterzug bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den Bahntunnel. Prüfen Sie, ob der Zug die zulässige Höchstgeschwindigkeit von \( 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) einhält.
d) Vom Punkt \( \mathrm{P}(1|51| 6,2) \) zum Autotunnel wird eine geradlinige Zufahrt gebaut. Die Zufahrt soll eine Länge von 1300 Metern haben und in einem Punkt \( Q \) auf den Autotunnel treffen.
Bestimmen Sie die Koordinaten von Q.
Zusatzaufgabe für die OG24:
e) Die ursprünglichen Pläne werden verworfen. Stattdessen soll die geradlinige Zufahrt vom Punkt P zum Autotunnel eine möglichst geringe Länge haben.
Bestimmen Sie (mit Hilfe einer notwendigen und hinreichenden Bedingung) die Koordinaten von \( Q_{2} \), in dem die Zufahrt auf den Autotunnel trifft.
(Hinweis: Der Abstand d zwischen \( P \) und \( Q_{2} \) ist minimal, wenn \( d^{2} \) minimal ist.)
(ösuugen:
d) \( Q(13,98 / 51,65 / 6,47), e) Q_{2}(6 / 45 / 6,2) \).

Aufgabe: Bestimmen Sie die Koordinaten von Q.

Problem/Ansatz: Hallo, es geht um die Aufgabe d)

Answer 1

Länge des Richtungsvektors PQ soll 13 LE = 1300 m sein.

d)

|[0, 40, 6] + r·[30, 25, 1] - [1, 51, 6.2]| = 13 → r = 3/763·√4578 + 1/5 = 0.4660

Q = [0, 40, 6] + 0.4660·[30, 25, 1] = [13.98, 51.65, 6.47]

Answer 2

Hallo,

Gleichung der Geraden Autotunnel: \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\40\\6 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 30\\25\\1 \end{pmatrix}\)

Ein beliebiger Punkt A auf der Geraden hat die Koordinaten \(A=\begin{pmatrix} 30r\\40+25r\\6+r \end{pmatrix}\).

Den Abstand von A zu P berechnest du mit \(d=\sqrt{(1-30r)^2+(11-25r)^2+(0,2-r)^2}\). Setze 13 für d ein und löse nach r auf.

Ich komme auf \(r_1\approx -0,066\quad r_2\approx 0,466\)

und damit auch auf andere Koordinaten von Q1 und Q2 als in deiner Lösung. Rechne also lieber nochmal nach.

Gruß, Silvia