Parabel einer quadratischen Funktion - Koordinaten bestimmen und Funktion angeben

Question

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen, doch leider bin ich nicht die beste in Mathe..

Von einer Parabel einer quadratischen Funtkion habe ich folgende Informationen gegeben:

- Parabel schneidet im Punkt A1 (-4|0) die Abszisse

- Der Scheitelpunkt liegt auf der Ordinatenachse

- Die Parabel verläuft durch den Punkt (1|-7,5)

Aufgabe: Geben sie die Koodrinaten des zweiten Abzissenachsenschnittpunktes A2 an und entscheide begründet, ob es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? Geben sie die Funktionsgleichung der beschriebenen Parabel an.

Answer 1

Geben sie die Koodrinaten des zweiten Abzissenachsenschnittpunktes A2 an

Da der Scheitelpunkt auf der Ordinatenachse liegt ist die Parabel symmetrisch zu dieser Achse. D.h. AS liegt symmetrisch bei A2(4 | 0)

und entscheide begründet, ob es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt?

Wegen "Die Parabel verläuft durch den Punkt (1|-7,5)" verläuft der Graph zwischen Scheitelpunkt und Nullstelle im negativen bereich. Daher muss der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt sein.

Geben sie die Funktionsgleichung der beschriebenen Parabel an.

f(x) = ax^2 + c
f(4) = 16a + c = 0
f(1) = a + c = -7.5

Ich erhalte beim Lösen a = 0.5 ∧ c = -8 und damit die Funktion

f(x) = 0.5·x^2 - 8

Answer 2

Aloha :)

Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse (Abszisse) bei \(A_1(-4|0)\).

Der Scheitelpunkt liegt auf der \(y\)-Achse (Ordinate), also ist bei \(A_2(4|0)\) ein weiterer Nullpunkt.

Die Parabel verläuft durch den Punkt \((1|-7,5)\). Das liegt zwischen den beiden Nullpunkten \(A_1\) und \(A_2\) und unterhalb der \(x\)-Achse (denn \(y(1)=-7,5<0\)). Daher ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt.

Wegen der beiden Nullstellen lautet die Gleichung der Parabel:$$y(x)=a(x-4)(x+4)=a(x^2-16)$$

Aus den Koordinaten von \((1|-7,5)\) folgt noch der unbekannte Parameter \(a\):$$-\frac{15}{2}=-7,5=y(1)=a(1-16)=-15a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$$Die Funktionsgleichung ist also:$$y(x)=\frac{1}{2}(x^2-16)$$

~plot~ 0.5(x^2-16) ; {-4|0} ; {4|0} ; {0|-8} ; [[-6|6|-8,5|5]] ~plot~