Welche der Funktionenfolgen konvergieren punktweise / gleichmäßig?

Question

Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionenfolgen auf punktweise Konvergenz und geben Sie ggf. den Grenzwert an. Welche der Funktionenfolgen konvergieren gleichmäßig?

(a) {f_n}_n∈ℕ mit f_n(x) = \( \frac{1}{1+x^n} \) , x ∈ [0, 1]

(b) {g_n}_n∈ℕ mit g_n(z) = \( \frac{n∣z∣}{n+∣z∣^2} \) , z ∈ B₂(0) ⊂ ℂ.

Hallo, kann jemand meine Ergebnisse überprüfen. Für punktweise Konvergenz habe ich:
(a) f(x) = { 1 für x=1 ; \( \frac{1}{2} \)  für x ∈ [0,1) }

(b) g(x) = ∣z∣ ∈ [0,4]

Falls ich was falsch habe könnte mir jemand die richtige Lösung nennen?
Nun zu meinem eigentlichen Problem: Leider weiß ich nicht wie ich das mit der gleichmäßigen Konvergenz zeige. Kann mir da einer helfen?

Answer 1

Zu a) Da würde ich genau auf das umgekehrte Ergebnis kommen.

Oft (so auch hier) hilft der Satz: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist auch wieder stetig.

Zu b) \(g(x)=|z|\) ? Und was soll das \([0,4]\)? Klär das erstmal.

Und dann: gleichmäßige Konvergenz zeigt man mit \(\varepsilon\)-\(n_0\) genauso wie punktweise Konvergenz, nur darf für gK das \(n_0\) nur von \(\varepsilon\) abhängen, nicht aber von \(x\).

Comments

Ja das mit dem umgekehrte Ergebnissen stimmt habe es leider falsch abgeschrieben...

Und zu (b) dachte ich:

lim \( \frac{n∣z∣}{n+∣z∣^2} \) = lim \( \frac{n∣z∣}{n(1+\frac{∣z∣^2}{n})} \)

nun n kürzen

= lim \( \frac{∣z∣}{(1+\frac{∣z∣^2}{n})} \) = lim \( \frac{∣z∣}{1+0} \) = ∣z∣.

Und wegen z ∈ B₂(0) ⊂ ℂ dachte ich kann ∣z∣ min. 0 und max. 2 sein (nicht 4, wieder verschrieben).

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Zu b) Die Überlegung ist schon klar, aber die von Dir genannte Funktion \(g(x)=|z|\) ist konstant. Gib sie richtig an. Der Defbereich von \(g\) ist auch klar, der ist \(B_2(0)\) und nichts anderes.

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Ah ja das mit \(g(x)=|z|\) ist schon blöd, bestimmt darf ich einfach sagen {g_n}_n∈ℕ konvergiert gegen |z| oder?

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In b) kommt von der Aufgabenstellung her gar kein x vor. Warum Du es Dir schwer machst und eins einführst, weiß ich nicht. Um die konkrete Angabe der Funktion g kommst Du nicht herum.

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Achsoooo ich Dummkopf das war natürlich ein Fehler, instinktiv schreibe ich x in die klammern, Dankeschön für die Hilfe.