Analysis Übungsaufgabe, Abbildung

Question

Aufgabe:

(a) Sei f : X → Y eine Abbildung. Sei A ⊂ Y beliebig. Zeigen Sie \(f(f^{-1}(A)) \sub A\).
(b) Finden Sie
(i) eine Abbildung f : X → Y und eine Teilmenge A ⊂ Y mit \(f(f^{-1}(A)) = A\),
(ii) eine Abbildung f : X → Y und eine Teilmenge A ⊂ Y mit \(f(f^{−1}(A))\subsetneq A\).

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen! Leider sind solche Aufgabenformate für mich noch völlig neu und ich weiß einfach nicht, wo ich das Ganze starten soll. Könnte mir jemand helfen? Ganz lieben Dank!

Comments

(ii) eine Abbildung f : X → Y und eine Teilmenge A ⊂ Y mit \(f(f^{−1}(A)) A\)

ich nehme an, da fehlt noch ein Zeichen vor dem letzten \(A\) in der Zeile.

Gibt es in der Aufgabe eine Angabe zur Eigenschaft von \(f\) bez. Injektivität und Surjektivität?

---

Oh, Verzeihung! Ja, das Zeichen ließ sich nicht abbilden. Ich lade es als Grafik hoch. Angaben zur Injektivität und Surjektivität sind leider

Text erkannt:

(a) Sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung. Sei \( A \subset Y \) beliebig. Zeigen Sie \( f\left(f^{-1}(A)\right) \subset A \).
(b) Finden Sie
(i) eine Abbildung \( f: X \rightarrow Y \) und eine Teilmenge \( A \subset Y \) mit \( f\left(f^{-1}(A)\right)=A \),
(ii) eine Abbildung \( f: X \rightarrow Y \) und eine Teilmenge \( A \subset Y \) mit \( f\left(f^{-1}(A)\right) \subsetneq A \).

nicht angegeben.

Answer 1

Um sowas wie \(f(f^{-1}(A)) \sub A\) zu beweisen, musst du dir

erst mal die Bedeutung von ⊂ vergegenwärtigen:

Jedes Element der Menge, die vor dem ⊂-Zeichen steht,

muss in der Menge sein, die dahinter steht.

Macht man meistens so:

Sei x∈ \(f(f^{-1}(A)) \). Dann gibt es ein y∈ \(f^{-1}(A) \) mit f(y)=x.

Da y∈ \(f^{-1}(A) \) gibt es ein z∈A mit f(y)=z.

Also hat man f(y)=x und f(y)=z

Wegen der Eindeutigkeit der Abbildung f gilt also x=z.

Und wegen z∈A ist also auch x∈A.  q.e.d.

b) (i) z.B. X=Y=ℝ und A={1} und f =id_ℝ .

(ii) z.B. X=Y=ℝ und A={-4;4} und f:ℝ→ℝ  mit f(x)=x^2 .

Dann ist \(f^{-1}(A) =\{ -2;2\}\)  weil -4 ja kein Urbild hat.

Und damit \(f(f^{-1}(A)) =\{ 4 \} \), also eine echte Teilmenge von A.