Übungsaufgabe Analysis Urbilder und Vereinigungen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Urbilder von Vereinigungen und Durchschnitten. Hierbei sei f : X → Y eine Abbildung und N ein Mengensystem auf Y .

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, was mit Urbildern gemeint ist. In der Vorlesung fiel dieses Wort leider nicht.

Text erkannt:

(a) \( f^{-1}\left(\bigcup_{N \in \mathcal{N}} N\right)=\bigcup_{N \in \mathcal{N}} f^{-1}(N) \),
(b) \( f^{-1}\left(\bigcap_{N \in \mathcal{N}} N\right)=\bigcap_{N \in \mathcal{N}} f^{-1}(N) \).

Answer 1

Definition (Urbild). Seien X, Y Mengen, f: X → Y eine Abbildung und B ⊆ Y.

Dann heißt die Menge

    {x ∈ X | ∃ y ∈ B: f(x)=y}

"Urbild von B unter der Abbildung f" oder kurz "Urbild von B" und wird

    f^-1(B)

geschrieben.

Answer 2

Es ist wie im normalen Sprachgebrauch: Eine Abbildung ordnet einem Original (\(x\)) ein Bild (Funktionswert \(f(x)\)) zu. Die Menge der Bilder einer Menge \(A\) von Originalen ist dann

\(f(A) = \{f(x) | x\in A\}\), die Bildmenge von \(A\).

Umgekehrt gibt es zu Bilder oft auch Urbilder (Originale). Die Menge der Urbilder zu einem \(y\in Y\) ist \(f^{-1}(y) = \{x | f(x)=y\}\).

Für eine Menge von Bildern \(B\) dann entsprechend \(f^{-1}(Y)=\{x | f(x)\in B\}\), die Urbildmenge von \(B\).

Achte als Anfänger genau darauf, ob Du von Elementen oder Mengen sprichst und beachte, dass die Schreibweise \(f^{-1}\) hier nichts mit einer Umkehrfunktion zu tun hat (die muss es gar nicht geben).