Ungleichungen in Kombination mit Betrag

Question

Aufgabe:

ich habe folgende Aufgabe

Text erkannt:

Problem/Ansatz:

|x|-1 der Begriff muss ja einmal >0 und einmal kleiner 0  sein- was jeweils für den Betrag von X

also der 1 Fall wäre:

x>1 und x-1 >0

2 Fall

x<0 und x-1<0 richtig?

im 1 Fall habe ich als Lösungsmenge

x<2 was in Kombination mit den Restriktionen (L1= (1,2) ergibt

im 2 Fall habe ich x>-2 (L2= (-2,.....)

leider komme ich nicht drauf, wie man hier auf die -1 in L2 kommt

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Fallunterscheidungen nur, wenn's wirklich nötig ist.

Hier muss (damit die Ungleichung gilt) \(|x|-1>0\) gelten (weil sonst die linke Seite der Ungleichung \(<0\) würde). D.h. wir haben nur diesen Fall.

Damit ist die Ungl. \(\iff 1 > |x|-1 \iff |x|<2\iff x\in (-2,2)\).

Nun muss noch \(|x|>1\) gelten, also insgesamt: \(1<|x|<2\), also \(L = (-2,-1)\cup (1,2)\).

Letzteres macht man sich (wie vieles andere mit Beträgen auch) an der Zahlengeraden klar.

Comments

Deine Lösung scheint nicht richtig zu sein:

https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F%28%7Cx%7C-1%29+%3E+1

---

Ist bereits korrigiert.

---

In dubio pro Schema-F-Methode.

Je mehr man komprimiert in Einzelfällen, desto konzentrierter muss man sein.

Schüler sollte anfangs eine Methode lernen, die immer geht, auch wenn der Profi

denkt: Mann, warum so umständlich? :)

---

@ggT22 Deine unrichtige Lösung spricht nicht für diese Theorie.

---

Ich habe den Bereich zw. -1 und 1 vergessen.

Ich habe das ergänzt ohne Berechnung.

Answer 2

1/(|x|-1) >1

1. Fall: x >1

1/(x-1) >1

1/(x-1) -1 >0

(1-x+1)/(x-1) >0

(2-x)/(x-1) >0

2-x>0 u. x-1>0

x<2 u. x>1  -> L= (1,2)

2. Fall:

0<=x<1

...

3.Fall:

-1<=x<0

....

4.Fall:

x< 1

1/(-x-1) -1 >0

(1+x+1)/(-x-1) >0

(2+x)/(-x-1) >0

2+x >0 u. -x-1>0

x>-2 u. x< -1 -> L= (-2,-1)

L = (1,2) ∪ (-2,-1)

Comments

Die Fallunterscheidung passt nicht zum Auflösen der Beträge und damit auch nicht am Ende zur Klärung des Bruchs.

Mit Fallunterscheidung wird hier alles aufwendiger, unübersichtlicher und dadurch fehleranfällig.

Answer 3

Der 1. Fall wäre: x>0 und |x|-1 >0.

Das heißt x>0 und |x|>1 und das heißt:

x>0 und (x>1∨x< -1) 

Das Gleiche nochmal für x<0.

Also gibt es vier Fälle.

Am Ende liegt x dem Betrage nach zwischen 1 und 2:

{x|-2<x<-1 ∨ 1<x<2}

Comments

Danke, Roland, ich hatte 2 Bereiche vergessen.

Answer 4

1/(|x| - 1) > 1

Zunächst könnte man sich die Achsensymmetrie zunutze machen und nur x ≥ 0 betrachten und damit den Betrag weglassen.

1/(x - 1) > 1

Jetzt gibt es zwei Fälle

1. Fall: x < 1

Dieser Fall scheidet aus, da der linke Term damit offensichtlich negativ ist.

2. Fall: x > 1

1 > x - 1
x < 2 → Damit ist die Lösung 1 < x < 2

Aufgrund der Symmetrie, das auch noch im negativen.

1 < x < 2 ∨ -2 < x < -1

Comments

Zunächst könnte man sich die Achsensymmetrie zunutze machen

Darauf muss der Anfänger erst kommen bzw. daran denken.

Quod statim in mentem venit Iovi, non venit bovi. :)

---

Darauf muss der Anfänger erst kommen bzw. daran denken.

In der Regel lernt man das bei einer Kurvendiskussion ganz als Erstes.

Ok. Zugegeben ist es vielleicht auch das Erste, was die Schüler wieder vergessen :)

Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr!