Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der reellen \( 2 \times 2 \) -Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right) \).
Eigenwerte:
\( \begin{array}{l} 0=\operatorname{det}(A-\lambda \mathbb{E})=\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{array}\right|=\lambda 2-3 \lambda-4 \\ \Rightarrow \quad \lambda_{1 / 2}=\frac{1}{2}[3 \pm \sqrt{9+16}]=\frac{1}{2}(3 \pm 5)=\left\{\begin{array}{l} -1 \\ 4 \end{array}\right. \end{array} \)
Eigenvektoren:
\( \lambda_{1}=-1 \) :
\( A-\lambda_{1} \mathbb{E}=A+\mathbb{E}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \)
Also sind alle Vektoren \( \vec{v}_{1}=t\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right) \) mit \( t \neq 0 \) Lösungen von \( \left(A-\lambda_{1} \mathbb{E}\right) \vec{v}= 0\) und damit Eigenvektoren von A zum Eigenwert \( \lambda_{1}=-1 . \) \( \lambda_{2}=4: \)
\( 4-\lambda_{2} \mathbb{E}=A-4 \mathbb{E}=\left(\begin{array}{cc} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \)
Also sind alle Vektoren \( \vec{v}_{1}=t\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) \) mit \( t \neq 0 \) Lösungen von \( \left(A-\lambda_{2} \mathbb{E}\right) \vec{v}=0 \)
Könnte mir jemand erklären, woher man weiß, dass [-4,2; 2,-1] gleich [-2,1; 0,0] ist? (Abbildung)
Was ich nur sehen kann ist, dass die Determinante in beiden Fällen 0 beträgt.
