Bedeutung von Eigenvektoren und Eigenwerten Leslie-Matrix und Abbildungsmatrix?

Question

Aufgabe:

Gibt es einen Unterschied bei der Bedeutung von Eigenvektoren und Eigenwerten im Kontext von Matrizen als Abbildungen und Leslie-Matrizen für Populationsentwicklung für die langfristige Entwicklung?

Problem/Ansatz:

Der Satz $$M^{n}*\vec{v_{0}}=a*k_{1}^{n}*\vec{v_{E1}}+b*k_{2}^{n}*\vec{v_{E2}}$$

soll darstellen, welchen Einfluss Eigenvektoren und ihre -Werte auf langfristige Entwicklungsprozesse von Populationen haben.

Wenn ich das erklären soll, sollte ich Abbildungsmatrizen erwähnen? Ich möche das Eigenwertkriterium nämlich in einem Koordinatensystem veranschaulichen (Veranschaulichungen aus dem Netz, die ich mir angesehen habe, haben aber meistens was mit Abbildungsmatrizen zu tun, das hatte mein Kurs noch nicht). Ich konnte nichts zu dem obrigen Satz im Netz finden.

Mir scheint, als hätte ich Eigenvektoren bei Abbildungen (z.B. was bei einer Scherung passiert) verstanden, im Kontext von Leslie-Matrizen noch nicht.

PS. Das ist für eine Präsentation

Answer 1

im Kontext von Matrizen als Abbildungen

Ist \(M\in \mathbb{R}^{n\times n}\) eine Matrix, dann ist

        \(\varphi_M:\ \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, x \mapsto Mx\)

eine lineare Abbildung.

Leslie-Matrizen für Populationsentwicklung

Ist \(M\in \mathbb{R}^{n\times n}\) eine Leslie-Matrix für Populationsentwicklung, dann ist

  \(\varphi_M:\ \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, x \mapsto Mx\)

die lineare Abbildung, die jeden Populationsvektor \(x\) auf den Populationsvektor des nächsten Generationsbestandes abbildet. Und \(M\) ist die zugehörige Abbildungsmatrix.

\(M^{n}*\vec{v_{0}}=a*k_{1}^{n}*\vec{v_{E1}}+b*k_{2}^{n}*\vec{v_{E2}}\)

Wenn du Variablen verwendest, dann musst du angeben wofür sie stehen.

Comments

a und b sind konstante Faktoren, die zu den jeweiligen Eigenvektoren gehören, wenn sie einen Startvekor als Linearkombination darstellen.

Also a*vE1+b*vE2=v0

k ist der Eigenwert und vE ist der Eigenvektor der Matrix M