Matrix zu gegebenen Eigenwerten und Eigenvektoren 1/√5(2,1)^T und (1,0)^T konstruieren

Question

Konstruieren Sie eine Matrix mit den Eigenwerten \( \lambda_{1}=1 \) und \( \lambda_{2}=-2 \) und den zugehörigen Eigenvektoren \( \vec{x}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)^{T} \) und \( \vec{x}_{2}=(1,0)^{T} \)

Comments

Es gilt

Ax₁ = 1*x₁

und

Ax₂ = -2*x₂

Dabei sei

$$A = \begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}$$

Das löse nun ;)

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Ohne Theoriekenntnisse könntest du
(xy
 za  )       = A
ansetzen.

Und dann aus den folgenden Gleichungen 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten basteln.

A*(2,1)^T = (2,1)^T                       |den Faktor 1/√5 würde ich weglassen.

A*(1,0)^T = (-2) * (1,0)^T

Also: A*(1,0)^T = (-2,0)^T

Answer 1

sei \(A\in \text{Mat}(2\times2,\mathbb R)\) eine Matrix mit den geforderten Eigenschaften. \(A\) ist diagonalisierbar und es gilt$$\begin{pmatrix}\tfrac25\sqrt5&1\\\tfrac15\sqrt5&0\end{pmatrix}^{-1}\cdot A\cdot\begin{pmatrix}\tfrac25\sqrt5&1\\\tfrac15\sqrt5&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}.$$Daraus folgt$$A=\begin{pmatrix}\tfrac25\sqrt5&1\\\tfrac15\sqrt5&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&\sqrt5\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&6\\0&1\end{pmatrix}.$$